Отношения эквивалентности на числовой прямой
Пусть задано отношение на множестве . В случае, когда – числовая прямая, отношение отождествляется с некоторым подмножеством числовой плоскости, т.е. прямого произведения . В этом параграфе будут рассмотрены геометрические свойства множества на плоскости в случае, когда отношение есть эквивалентность. Согласно определению 1.2.1 отношение называется эквивалентностью, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Каждое из этих свойств порождает некоторое геометрическое свойство множества . Координаты точки на плоскости будем обозначать . 1. Рефлексивность. Из того, что для всех , следует, что множество содержит главную диагональ (свойство ). 2. Симметричность. Симметричность означает, что если , то и , т.е. что множество симметрично относительно главной диагонали (свойство ). 3. Транзитивность. Транзитивность означает, что если и , то и . Точка является четвертой вершиной прямоугольника, три вершины которого находятся в точках и . Заметим, что вершина лежит на биссектрисе координатного угла – главной диагонали координатной плоскости. Поэтому геометрически свойство транзитивности можно сформулировать следующим образом: Множество на плоскости определяет транзитивное отношение тогда и только тогда, когда для любого прямоугольника, одна вершина которого лежит на главной диагонали, а две соседние с вершины принадлежат , вершина , противоположная , также принадлежит (свойство ). Замечание. Если отношение является симметричным, то геометрическая формулировка транзитивности несколько упрощается. А именно: Множество на плоскости, симметричное относительно главной диагонали, определяет транзитивное отношение тогда и только тогда, когда для любого прямоугольника, одна вершина которого лежит на главной диагонали, а две другие принадлежат , четвертая вершина также принадлежит (свойство ). Разница с предыдущим утверждением состоит в том, что вершины, принадлежащие , не обязаны быть соседними с вершиной, лежащей на диагонали. Покажем, что для симметричного свойство , влечет . Пусть, например, вершина, лежащая на диагонали, имеет координаты и и ; покажем, что . В самом деле, в силу симметрии, вместе с имеем . Если в качестве вершины на диагонали взять теперь , а в качестве соседних с ней вершин, принадлежащих , и , то, в силу свойства получаем . Заметим, что класс эквивалентности, содержащий точку , есть проекция пересечения множества и прямой на ось ординат. Сейчас мы приведем некоторые примеры множеств на плоскости, определяющих отношение эквивалентности. 1 Пример. (тривиальный). Множество вся плоскость. Выполнение свойств , , очевидно. Все точки исходной прямой отождествляются, т.е. входят в один класс эквивалентности. Замечание. Для любого , если множество , определяющее отношение эквивалентности, содержит полосу , то оно совпадает со всей плоскостью. В самом деле, вместе с любой точкой множество содержит все внутренние точки квадрата с вершинами , , , , т.е. полосу . Ясно, что таким образом свойство "принадлежать " распространяется на все точки плоскости. 2 Пример. (периодичность). Возьмем которое число. Пусть множество состоит из прямых , где – произвольное целое число. Выполнение свойств и очевидно, и если , , то . 3 Пример. "Все константы равны единице, кроме нуля". (Такое утверждение высказал И.М. Гельфанд на одной из своих лекций.) В этом примере множество есть вся плоскость с выброшенными осями координат и добавленным началом координат. Иначе говоря, всегда, кроме случая , и ему симметричного. Если точки , принадлежат , то либо , и тогда , , либо , и тогда и . В обоих случаях . 4 Пример. (Все целые числа равны друг другу.) Множество состоит из главной диагонали и всех точек с целыми координатами. Очевидно, можно рассматривать и конечные варианты такой эквивалентности типа 5 Пример. (Все числа, не большие единицы по модулю, равны друг другу.) Множество состоит из диагонали и замкнутого единичного квадрата. Очевидно, множество, состоящее из открытого (или полузамкнутого: ) квадрата, также дает эквивалентность.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (242)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |