Классы толерантности в некоторых конкретных пространствах толерантности
Рассмотрим пространство . Это пространство толерантности состоит из множеств номеров вида , где все , причем элементы и толерантны, если они содержат общий номер. Обозначим через множество всех элементов, содержащих номер . Например, при и , состоит из элементов . Ясно, что если и , то они заведомо имеют общий номер , и поэтому . Значит, есть предкласс. Пусть теперь – произвольный элемент, не входящий в , а – тот элемент из , который имеет единственный номер . Ясно, что не выполнено, поскольку не содержит номера , а содержит только этот номер. Значит, предкласс нельзя расширить и поэтому справедлива следующая лемма. Лемма Множество является классом толерантности. Так как состоит из всех множеств вида , то число элементов множества равно – число всех подмножеств множества из оставшихся номеров. Найденных классов достаточно, чтобы задать толерантность в . Точный смысл этого утверждения состоит в том, что соотношение выполняется тогда и только тогда, когда существует класс содержащий одновременно и . Действительно, если , то и содержат некоторый общий номер , и тем самым входят в класс . Обратное столь же очевидно. Значит, лемма 2.3.3 допускает для пространства уточнение. Для проверки толерантности достаточно ограничиться проверкой вхождения в один из классов . Однако, в кроме есть еще классы толерантности. Так, в множество образует класс. Ясно, что этот класс не совпадает ни с одним , так как не содержит элементов вида . Определение. Совокупность классов в пространстве толерантности называется базисом, если: 1) для всякой толерантной пары и существует класс , содержащий оба этих элемента: ; 2) удаление из хотя бы одного класса приводит к потере этого свойства, т.е. существует толерантная пара , , для которой является единственным общим классом толерантности в . Замечание. Произвольная система классов толерантности, обладающая свойством 1) из определения 2.4.1, содержит базис. Чтобы выделить этот базис, достаточно последовательно удалить "лишние" классы. В качестве исходной системы можно выбрать все множество классов. Отсюда следует существование базиса в любом пространстве толерантности. Теорема. Пусть – произвольное пространство толерантности, а – базис. Тогда существует отображение такое, что элементы из толерантны в том и только в том случае, когда толерантны их образы в . Смысл теоремы состоит в том, что любое пространство толерантности реализуется как система множеств классов из базиса с естественной толерантностью типа . Выше было показано, что в пространстве толерантности набор классов образует базис, не совпадающий с совокупностью всех классов. Установим одно простое свойство всех классов толерантности в .
Лемма Если – класс толерантности в , содержащий элемент , то . Доказательство. Действительно, все элементы, толерантные к , обязаны содержать номер в своем наборе. Значит, . Но есть класс, т.е. по определению не может целиком содержаться в другом классе. Значит, .
Лемма В пространстве существует единственный базис: . Доказательство. Пусть – базис в . Тогда в нем должен существовать класс, содержащий элемент . По предыдущей лемме таким классом может быть только . Значит, базис должен содержать все классы . Но они уже сами образуют базис, т.е. . В силу определения базиса толерантность в можно задать только признаками, соответствующими базисным классам . Итак, в пространстве остальные классы играют чисто паразитическую роль, не участвуя ни в одном базисе. Вообще говоря, существуют пространства толерантности с неединственным базисом. Рассмотрим пространство . Оно состоит из целочисленных кортежей длины , где . Обозначим через множество, состоящее из всех элементов, для которых . Легко проверить, что эти множества образуют классы толерантности. Итак, класс – это совокупность кортежей, у которых фиксированная координата принимает фиксированное значение. Из определения толерантности в сразу следует, что классы образуют базис. Общее количество этих классов равно , а каждый класс содержит элементов.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (325)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |