Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Лекция 1.

Общие понятия.

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее одну

или несколько независимых переменных, неизвестную функцию, зависящую от этих пере-менных и ее производные.

 

Определение 2. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, уравнение назы-

вается обыкновенным дифференциальным уравнением.

 

Определение 3. Если неизвестная функция зависит от двух или большего числа переменных,

уравнение называется уравнением с частными производными.

 

Обыкновенное дифференциальное уравнение можно записать следующим образом:

                                                                                                       (1)

где - заданная функция своих аргументов.

 

Определение 4. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей

производной, входящей в уравнение.

Пример 1.

1.  

2.

Определение 5. Решением дифференциального уравнения -ого порядка на промежутке

 называется всякая функция , имеющая на данном промежутке производные до

-ого порядка включительно, и такая, что подстановка ее и ее производных в уравнение обра-

щает его в тождество по  на .

Пример 2. Решением уравнения  на всей числовой оси является функция .

 

Определение 6. График решения дифференциального уравнения называется интегральной

кривой. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегриро-

ванием дифференциального уравнения.

 

Рассмотрим дифференциальное уравнение 1-ого порядка:

 

                                                                                                                                (2)

Если его можно разрешить относительно производной, то получится уравнение:

 

                                                                                                                                   (3)

 

Оно называется разрешенным относительно производной. Если уравнение невозможно разре-

шить относительно , то оно называется неразрешенным относительно производной.

Пример 3.

1.  

Это уравнение можно разрешить относительно производной, получим:

;

2.

Данное уравнение невозможно разрешить относительно производной.

Дифференциальное уравнение может иметь бесконечное множество решений. Чтобы выделить

из этого множества решений какое-то конкретное решение, надо задать дополнительное усло-

вие:

                                                                                                                                 (4)

оно называется начальным условием.

Так как часто в уравнениях независимой переменной является время , поэтому условие (4)

означает, что искомая функция задается в начальный момент времени, отсюда название

начальное условие. Геометрически начальное условие означает, что задается точка ,

через которую должна проходить искомая интегральная кривая.

Определение 7. Задача нахождения решения уравнения (3), удовлетворяющего условию (4),

называется задачей Коши (или задачей с начальным условием).

 

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Часто бывает трудно решить аналитически дифференциальное уравнение, поэтому большое

значение имеют приближенные методы решения дифференциальных уравнений, которые в

связи с быстрым развитием вычислительной техники приобретают еще большее значение.

Однако, чтобы применять тот или иной метод приближенного интегрирования дифференциаль-

ного уравнения, надо прежде всего быть уверенным в существовании искомого решения, а так-

же и в единственности решения, так как при отсутствии единственности остается неясным, ка-

кое именно решение требуется приближенно определить. Ответ на эти вопросы дает следую-

щая теорема.