Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

Дифференциальное уравнение -ого порядка записывается следующим образом

 

                                                                                                        (30),

 

. Старшая производная 2-ого или более высокого порядка.

Если разрешить данное уравнение относительно старшей производной, получим уравнение

 

                                                                                                  (31)

 

Чтобы найти частное решение уравнения (31), надо задать  условий:

 

                                                                            (32),

 

где  - числа.

Условия (32) называются начальными условиями.

Задача Коши для уравнения высшего порядка ставится также как и для уравнения 1-ого поряд-

ка: надо найти решение уравнения (31), удовлетворяющее условиям (32).

 

Теорема 4. Пусть функция  непрерывна по совокупности своих аргументов в

окрестности точки  и в этой окрестности имеет ограниченные частные

производные , тогда найдется промежуток  оси , на кото-

ром существует и единственно решение уравнения (31), удовлетворяющее условиям (32).

 

Определение 19. Общим решением уравнения (31) в некоторой области существования и един-

ственности решения задачи Коши называется - параметрическое семейство функций

, зависящих от одной независимой переменной  и  произвольных посто-

янных (называемых парметрами) такое, что:

1. при любых допустимых значениях параметров  каждая функция этого семейства явля-

ется решением уравнения (31);

2. каковы бы ни были условия (32), можно подобрать значения параметров  так, чтобы

функция этого семейства  удовлетворяла этим условиям.

Решение, полученное из общего при конкретных значениях параметров, называется частным.

 

Определение 20. Равенство                                                                     (33),

связывающее независимую переменную, искомую функцию и  произвольных постоянных,

называется общим интегралом уравнения (31).

 

Рассмотрим некоторые типы уравнений высших порядков, допускающие понижения порядка.

 

1.                                                                                                                             (34)

 - известная интегрируемая функция.

Используя определение производных высших порядков, запишем левую часть уравнения по-другому, а именно , можно разделить переменные и проинтегрировать, получим

,

аналогично поступим с полученным равенством и в конечном итоге найдем искомую функцию

 

                                                                    (35)

 

Пример 15. Найти общее решение уравнения .

Решение. Интегрируем данное равенство, получаем или , далее аналогично: , а затем

.

Общее решение содержит три произвольных постоянных( уравнение 3-его порядка), многочлен

второго порядка.

 

2. Рассмотрим уравнение                                                                   (36),

где .

Уравнение (36) не содержит искомую функцию, а еще в уравнении может отсутствовать часть

производных с 1-ого порядка по -ого . Понизить порядок можно с помощью замены

 

                                                                                                                   (37)

 

Тогда , подставляем все в уравнение (36), получаем

 

                                                                                                      (38)

 

То есть порядок уравнения в этом случае можно понизить на  единиц. Пусть уравнение (38)

можно проинтегрировать, тогда его общее решение имеет вид

или , это уравнение вида (34), из него находим

- кратным интегрированием.

 

Пример 16. Найти общее решение уравнения .

Решение. Так как младшая производная, присутствующая в уравнении, 1-ого порядка, то заме-

на , тогда , подставляем в уравнение, получаем - это линей-

ное неоднородное уравнение 1-ого порядка, решаем его методом вариации произвольной по-

стоянной, а именно: сначала решаем линейное однородное, соответствующее данному неодно-

родному , разделяем переменные и интегрируем:

, пропотенцируем

данное равенство и получим общее решение однородного уравнения: .

Будем искать общее решение линейного неоднородного уравнения в виде , тогда

. Подставляем все в неоднородное уравнение:

.

Тогда , следовательно, , интегрируем и получаем

.

 

Пример 17. Найти общее решение уравнения .

Решение. Сделаем замену , тогда , подставляем в уравнение, получаем

- это уравнение с разделяющимися переменными, разделяем и интегрируем

, тогда , дважды интегрируем

.

 

3. Рассмотрим уравнение                                                                            (39)

 

В данном уравнении отсутствует независимая переменная, в этом случае порядок уравнения

можно понизить на единицу, сделав замену

                                                                                                                           (40)

 

Тогда  и т.д.

То есть любая производная - ого порядка функции  выражается через производные функции  порядка не выше - ого, что приводит к понижению порядка уравнения на

единицу.

 

Пример 18. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Сделаем замену , тогда , подставляем в уравнение и получаем

- это уравнение с разделяющимися переменными, разделяем их и интегрируем:

.

Возвращаемся к переменной : .

Это общий интеграл исходного уравнения.

 

4. Левая часть уравнения может быть представлена в виде полного дифференциала некоторого

выражения, этим можно воспользоваться для интегрирования данного уравнения.

 

Пример 19. Найти общий интеграл уравнения .

Левая часть является полным дифференциалом, поэтому уравнение можно записать в следую-

щем виде: , тогда .

 

Замечание. При решении задачи Коши для уравнений высших порядков бывает целесообразно

определять значения произвольных постоянных в процессе решения, а не после нахождения

общего решения, так как интегрирование упрощается, когда параметры принимают конкретные

значения, в то время как при их произвольных значениях интегрирование затрудняется, а то и

вообще невозможно в элементарных функциях.

 

Пример 20. Найти решение задачи Коши:  

Решение. Сделаем замену , тогда , подставляем в уравнение, получаем

, теперь воспользуемся начальными условиями:

если , то , получаем , тогда . Найдем :

. Вновь воспользуемся начальными услови-

ями, получим , подставляем найденное значение : . Тогда

решение задачи Коши имеет вид .

 

 

Составим для уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка, таблицу

типов уравнение и методов их решения.

 

 

Таблица 2.

Тип уравнения	Метод решения
1.	1.
2. - отсутствует искомая функция и часть про- изводных этой функции	2. Замена  понижает порядок на  единиц
3.  - отсутствует независимая переменная	3. Замена  - понижает порядок на единицу

 

Лекция 4.

 

1.5 Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) -ого порядка.