Для дифференциальных уравнений

Содержание

Введение. 3

§1. Разностные методы решения задач. 4

для дифференциальных уравнений. 4

1.1. Сеточная область. 6

функций. Нормы сеточных функций. 6

1.2. Аппроксимация дифференциальных операторов. 8

1.3. Разностная схема. 10

1.4. Корректность разностной схемы. 12

1.5. Аппроксимация и сходимость. 16

§2. Основные понятия и история вопроса. 20

экономичных разностных схем. 20

§3 Схема расщепления с последовательным переходом. 36

3.1.Постановка задачи. 36

3.2. Последовательный переход. 37

3.3. Разностная схема. 37

3.4. Стандартный вид разностных схем. 38

§4 Схема расщепления с параллельным переходом. 40

4.1.Постановка задачи. 40

4.2. Параллельный переход на дифференциальном уровне. 40

4.3. Параллельный переход на разностном уровне. 41

4.4. Погрешность аппроксимации. 42

4.5. Устойчивость схемы. 43

Заключение. 45

Список использованной литературы.. 47

Введение

Понятие «экономичных схем» относится к числу важнейших при решении многомерных краевых задач. Первые экономичные схемы были предложены и обоснованы в 1955-1956 годах одновременно Писменом Рэкфордом и Дугласом. С тех пор появились много хороших экономичных методов решения многомерных краевых задач. В большинстве случаев эти схемы были схемами в дробных шагах. В теории экономичных схем сложную задачу редуцируют к системе более простых задач, последовательное решение которых приводит в итоге к приближенному или точному решению исходной задачи.

Актуальность работы: разработка экономичных методов расщепления.

Объектом исследования выбраны разностные схемы, аппроксимирующие исходные задачи.

Целью данной работы является – численное исследование разностных схем расщепления для первой краевой задачи двумерного уравнения колебания.

Основной задачей выпускной работы является:

- рассмотреть методы расщепления для двумерного уравнения колебания;

В выпускной работе четыре параграфа. В первом параграфе дана теоретическая часть, в котором отражены основные понятия из теории разностных схем.

Второй параграф выпускной работы посвящен основным понятиям и истории вопроса экономичных разностных схем.

Третий и четвертый параграф содержит материалы собственных исследований по методам расщепления для двумерного уравнения колебания.

Выпускная работа состоит из введения, четырех параграфов (разностных методов решения задач для дифференциальных уравнений, основных понятий и истории вопроса элементарных разностных схем, схемы расщепления с последовательным переходом, схемы расщепления с параллельным переходом), заключения и списка использованной литературы.

Разностные методы решения задач

для дифференциальных уравнений

(основные понятия теории разностных схем)

Теория разностных схем является самостоятельным разделом вы­числительной математики, где изучаются методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем замены их конечно-разностными уравнениями (разностными схемами).

Пусть имеем дифференциальную задачу, записанную в символичес­кой форме:

                 Lu(x)=f(x),                                                                              (1.1)

где х G, f - заданная функция, L - линейный дифференциальный опе­ратор. Предполагается, что дополнительные условия дифференциаль­ного уравнения (граничные и начальные) учтены оператором L и пра­вой частью f.

Рассмотрим примеры. Пусть имеем дифференциальную задачу

которую запишем в виде (1.1):

Задача

запишется в виде (1.1), если положить

Для записи в виде (1.1) задачи

с краевыми условиями на обеих концах отрезка  надо положить:

Конечно-разностный метод (метод сеток) - один из мощных доста­точно универсальных методов современной вычислительной матема­тики. Этот метод относится к классу машинных методов решения широкого круга задач для дифференциальных уравнений [4].

Сеточная область

Для построения разностной схемы необходимо построить сетку G_h -конечное множество точек, принадлежащих G, плотность распределе­ния которых характеризуется параметрами h - шагом сетки. Пусть об­ласть изменения аргумента х есть отрезок . Разобьем этот отрезок точками на n равных частей длины  каждая. Множество точек называется равномерной сеткой на отрезке  и обозначим , а число h -расстояние между точками (узлами) сетки называется шагом сетки. Разбиение отрезка  точками  можно производить произвольным образом - . Тогда получаем сетку с шагами , которое зависит от номера узла сетки. Если  хотя бы в одной точке, то сетка называется неравномерной и такую сетку обозначают . Точки х₀ и х_n назовем граничными узлами и обозначим их . Остальные узлы назовем внутренними и обозначим их w_h. Узлы соседние с гранича­щими назовем приграничными. Тогда имеем  [4].

1.2. Сеточная функция. Пространство сеточных