Тема 4. Методы оптимизации экономических моделей

Вопрос 1. Понятие оптимизации модели.

Вопрос 2. Использование средства Ехсе1 «Подбор параметра» и «Таблицы подстановки» для улучшения характеристик модели.

Вопрос 3. Оптимизация модели процедурой Поиск решения.

Вопрос 1. Понятие оптимизации модели.

С различными моделями и модельными представлениями люди встречаются постоянно. По существу, моделями являются карты дорог, фотографии, рисунки, различные описания, списки и многие другие знаковые представления информации.

Модели играют огромную роль в различных науках как средство для отражения структуры и свойств различных объектов. Выбор модельных представлений часто определяет успех научных исследований, поскольку от этого выбора зависит точность и достоверность получаемых выводов, прогнозов и рекомендаций.

Модель (в широком понимании) — образ (в том чис ле схема, чертеж, график, план, карта) или прообраз како го-либо объекта или системы объектов (оригинала дан ной модели), используемый при определенных условиях в качестве их «заместителя». Так, например, моделью Земли служит глобус.

Модели по своей сути — чисто информационное понятие. Модели — это отражение наиболее существенных признаков, свойств и отношений явлений, объектов или процессов предметного мира. Например, фотографии и рисунки — это представления внешнего вида предметов, а чертежи и схемы раскрывают их структуру (внутреннюю организацию).

В то же время для одних и тех же явлений, процессов и объектов можно построить различные модели. Многообразие модельных представлений, связываемых с одними и теми же объектами, отражает различие точек зрения, интересов и потребностей людей в изучении этих объектов, а значит, в решении возникающих у них задач.

Различия между моделями определяются, с одной стороны, степенью их детальности, с другой — разницей выраженных в них внутренних связей отражаемых моделями процессов и явлений. Выбор степени детальности в подбираемых моделях зависит от целей исследования.

Модели можно классифицировать по ряду признаков. По способу построения (форме) модели можно разделить на:

а)  материальные модели, которые иначе можно назвать предметными. Они воспринимают геометрические и физические свойства оригинала и всегда имеют реальное воплощение;

б) информационные модели, которые нельзя потрогать или увидеть. Они строятся только на информации. Информационная модель — совокупность информации, характеризующая свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром. Базовый критерий целостности информационной модели — это адекватность модели оригиналу.

Исторически сложилось так, что первые работы по компьютерному моделированию, или, как говорили раньше, моделированию на ЭВМ, были связаны с физикой, где с помощью моделирования решался целый ряд задач гидравлики, фильтрации, теплопереноса и теплообмена, ме­ханики твердого тела и т. д. Моделирование, в основном, представляло собой решение сложных нелинейных задач математической физики с помощью итерационных схем, и по существу было оно моделированием математическим. Успехи математического моделирования в физике способствовали распространению его на задачи химии, электроэнергетики, биологии и некоторые другие дисциплины, причем схемы моделирования не слишком отличались друг от друга. Сложность решаемых на основе моделирования задач всегда ограничивалась лишь мощностью имеющихся ЭВМ.

В настоящее время под компьютерной модельючаще всего понимают:

-   условный образ объекта или некоторой системы объектов (или процессов), описанный с помощью взаимосвязанных компьютерных таблиц, блоков-схем, диаграмм, графиков, рисунков, анимационных фрагментов, гипертекстов и т. д. и отображающий структуру и взаимосвязи между элементами объекта. Компьютерные модели такого вида мы будем называть структурно-функциональными;

-   отдельную программу, совокупность программ, программный комплекс, позволяющий с помощью последовательности вычислений и графического отображения их результатов воспроизводить (имитировать) процессы функционирования объекта, системы объектов при условии воздействия на объект различных, как правило, случайных факторов. Такие модели принято называть имитационными моделями.

Многие проблемы производства, проектирования, прогнозирования сводятся к широкому классу задач оптимизации, для решения которых применяются математические методы. Типовыми задачами такого плана являются, например, следующие:

· ассортимент продукции — максимизация выпуска товаров при ограничениях на сырье для производства этих товаров;

· штатное расписание — составление штатного расписания для достижения наилучших результатов при наименьших расходах;

· планирование перевозок— минимизация затрат на транспортировку товаров;

· составление смеси — достижение заданного качества смеси при наименьших расходах;

· прочие разнообразные задачи оптимального распределения ресурсов и оптимального проектирования и т.д.

При постановке задачи оптимизации определяют:

1) целевую функцию (критерий оптимизации) F = ( x_j ) → max ( min , const ), которая показывает, в каком смысле решение должно быть оптимальным, т.е. наилучшим. Возможны три вида целевой функции: максимизация, минимизация, назначение заданного значения.

2) ограничения g_i ( x_j ) ≤ (=; ≥) b_i, которые устанавливают зависимости между переменными; могут быть односторонними и многосторонними.

3) граничные условия d_j ≤ x_j ≤ D_j , которые показывают, в каких пределах могут быть значения искомых переменных в оптимальном решении.

Решение задачи, удовлетворяющее всем ограничениям и граничным условиям, называется допустимым.

Важная xaрактеристика задачи оптимизации — ее размерность, которая определяется числом переменных п и числом ограничений т.

При п < т задачи решения не имеют. Необходимымтребованием задач оптимизации является условие п > т.

Систему уравнений, для которых п = трассматривают как задачу оптимизации, имеющую одно допустимое решение (ее можно решать как обычную задачу оптимизации, назначая в качестве целевой функции любую переменную).

Итак, задача имеет оптимальное решение, если она удовлетворяет двум требованиям:

· имеет более одного решения, т.е. существуют допустимые решения;

· имеется критерий, показывающий, в каком смысле принимае­мое решение должно быть оптимальным, т.е. наилучшим из допустимых.

В Ехсе1 для оптимизации могут быть применен ряд надстроек и средств, таких как «Поиск решения», «Таблицы подстановки», «Подбор параметра».

Вопрос 2. Использование средства Ехсе1 «Подбор параметра» и «Таблицы подстановки» для улучшения характеристик модели.

«Таблицы подстановки» служат для решения задач, когда значение одной или двух исходных величин требуется изменить с целью определения наилучшего итога в случае использования их конкретных значений. Необходимым условием для выполнения подобных задач является ввод формулы, связывающей рассчитываемые параметры с исходными.

Формула в таблицах подстановки с одной исходной величиной должна находиться на одну строку выше и на один столбец правее первого значения изменяемой величины, при этом значения должны быть организованы в столбец ниже первого.

В задачах, включающих две исходные величины, формула и исходные величины, значение одной из которых организованы в столбец, а другой – в строку, должны образовывать прямоугольник (формула, таким образом, может занимать его левый верхний угол).

Средство Excel «Подбор параметра» используется в случае необходимости нахождения точки равновесия, т.е. оптимального параметра. Таким образом, например, может быть найдено количество выпускаемых товаров, уравновешивающее затраты и прибыль предприятий по их выпуску и реализации.

Диалоговое окно «Подбор параметра» предлагает установить в ячейке, содержащей формулу разности между уравновешиваемыми параметрами, значение 0, изменяя значение ячейки, оказывающей непосредственное влияние на решение поставленной задачи. Задача будет решена, если каждый из параметров задать формулой, в которой будет ссылка на влияющую ячейку.

Для решения поставленной задачи графическим способом следует использовать «Мастер диаграмм», однако прежде следует произвести расчет, используя «Таблицу подстановки» с одной исходной величиной.