Тема 2. Унификация языка.
Для четкого выражения мыслей ученые придумали формальный язык, в котором все осмысленные выражения строятся по определенным правилам из следующих знаков, символов: Логические знаки " $ Ø Ù Ú Þ Û вспомогательные знаки ( ), нульместные функциональные знаки f f f f … одноместные функциональные знаки f f f f … ………………………… нульместные предикатные знаки g g g g … одноместные предикатные знаки g g g g … ………………………… переменные c0 c1 c2 c3 … Порядок в котором здесь перечислены знаки, называется алфавитным порядком. Выражением, знакосочетанием, символосочетанием в этом формальном языке называется несколько записанных друг за другом в направлении слева на право знаков. c, c0, c1, … обозначают нульместные функциональные знаки. f, f0, f1, … обозначают функциональные знаки. g, g0, g1, … обозначают предикатные знаки. u, v, w, u0, v0, w0, u1, v1, w1, … обозначают выражения. х, y, z, х0, y0, z0, х1, y1, z1, … обозначают переменные. uv обозначает результат написания выражения v после выражения u. Термами называются знакосочетания с такими порождающими правилами: D х D c D u1,…,un, f (u1, … ,un). f n-местный, n¹0. Обозначения для термов: a, b, a0, b0, a1, b1, … Пример индуктивной последовательности термов: f c1 f (c1, f ) f (c1, c1, f (c1, f )) c2 f (c1, f , f (c1, f ), c2) f (c2) f (f (c2)) Высказываниями, соотношениями, формулами называются знакосочетания с такими правилами порождения: D g здесь g нульместный D g(а1,…,аn) здесь g n-местный, n¹0 D u, "x(u) D u, $x(u) D u, Ø(u) D u, v, (u)Ù(v) D u, v, (u)Ú(v) D u, v, (u)Þ(v) D u, v, (u)Û(v) Пример индуктивной последовательности формул (на основе термов из предыдущего примера) g (f , c1) g "c5(g ) $c1(g (f , c1)) Ø("c5(g )) g (g )Ú("c5(g )) g (f (c1, f ), c2, c2)
Обозначениями для высказываний: p, q, r, s, t, p0, q0, r0, s0, t0,… С целью удобства обозрения формул некоторые скобочные диады можно опускать, принимая соглашение о правосторонней группировке скобок для нескольких одинаковых логических знаков и соглашение об убывании силы связи в алфавитном порядке логических знаков. Пример: pÞqÞr означает (p)Þ((q)Þ(r)), а запись Ø$xpÚqÙr понимается как (Ø($x(p)))Ú((q)Ù(r)). Следует помнить, что любое высказывание с пропущенными парами скобок не является высказыванием формального языка, оно является лишь обозначением соответствующего высказывания. Нульместные функциональные знаки называются константами. Знакосочетание "x называется квантором всеобщности по х, а $х - квантором существования по х. Начинающееся с предикатного знака высказывание называется предикатом. Высказывание называется элементарным, если оно начинается с квантора или предикатного знака. Высказывание q называется подвысказыванием или компонентой высказывания р, если q есть часть р. Элементарная компонента q высказывания р называется его пропозициональной компонентой, если q имеет хотя бы одно такое вхождение в р, которое не является вхождением в какую-нибудь другую элементарную компоненту высказывания р. Например, высказывание $c5(g Ùg )Þg имеет пять компонент: $c5(g Ùg ), g , g , g Ùg , $c5(g Ùg )Þg , из которых только первые три являются элементарными, первые две - пропозициональными, только g и g - предикатными. Интерпретация формального языка. Переменная выражает, нотирует, обозначает произвольный объект из некоторого не пустого множества, которое называется денотарием или универсумом данной интерпретации и элементы которого тем самым являются денотатами или значениями переменной. n-местный функциональный знак обозначает n-местную операцию на универсуме. n-местный предикатный знак обозначает изначальную взаимосвязь между любыми n объектами универсума. Термы обозначают объекты универсума, а высказывания обозначают истину или ложь, т. е. денотатами термов являются объекты универсума, а денотатами высказываний являются истина и ложь. Задать интерпретацию формального языка значит задать ее универсум и связанные с ним значения всех нужных нам функциональных и предикатных знаков; тогда значения всех нужных термов и формул при любых значениях фигурирующих в них переменных определяются индукцией по их построению с учетом такой интерпретации логических знаков: "xp - обобщение высказывания р по х является истинным тттк р является истинным для всех значений переменной х; синонимы: р для каждого х, р для любого х, р для всех x, р для произвольного х. $xp - подтверждение высказывания р по х является истинным тттк р является истинным хотя бы для одного значения переменной х; синонимы: существует х т.ч. р, р для некоторого х. Øp - отрицание высказывания р является истинным тттк р является ложным; синонимы: не р, неверно что р. pÙq - конъюнкция высказываний р, q является истинной тттк оба ее конъюнкта р, q являются истинными; синонимы: р и q, и р и q. pÚq - дизъюнкция высказываний p, q является ложной тттк оба ее дизъюнкта р, q являются ложными; синонимы: р или q, или р или q. pÞq - импликация высказываний p, q является ложной тттк посылка р является истинной, а заключение q является ложным; синонимы: р только если q, если р то q, q если р, р тогда q, q когда р, для того чтобы р необходимо чтобы q, для того чтобы q достаточно чтобы р, р следовательно q, из того что р следует что q. pÛq - эквиваленция высказываний р, q является истинной тттк ее части р, q обе являются истинными или обе являются ложными; синонимы: р если и только если q, р тогда и только тогда когда q, для того чтобы р необходимо и достаточно чтобы q, р эквивалентно q. Замечание. Иногда высказывания записывают на смеси формального, обычного и математического языка. Все такие записи будем рассматривать как обозначения соответствующих высказываний формального языка. Замечание. Введение обозначений для высказываний порождает двусмысленность в использовании знака равенства, поскольку сами высказывания являются некоторыми обозначениями, а именно обозначениями истины или лжи. При наличии иерархии обозначений такую двусмысленность обычно снимают соглашением о том, что равенство понимается как равенство между исходными объектами. Т. о. равенство p=q означает, что р и q имеют одинаковые истинностные значения т. е. являются равносильными. Пример. Каждый кулик свое болото хвалит. Универсум - множество куликов и болот g (x) - х есть кулик g (x) - х есть болото g (x, у) - х хвалит у g (x, у) - у свое для х
"c1((((g (c1))Ù(g (c2)))Ù(g (c1, c2)))Þ(g (c1, c2)))
Пример. Сумма квадратов двух положительных чисел меньше квадрата их суммы. Универсум - множество положительных чисел. f (x) - квадрат числа x f (x, y) - сумма чисел x, y g (x, y) – x меньше y
g (f (f (c1), f (c2)), f (f (c1, c2)))
Можно записать по-другому: универсум - множество действительных чисел f - число 0 ((g (f , c1))Ù(g (f , c2)))Þ(g (f (f (c1), f (c2)), f (f (c1, c2))) Пример. Только я один знаю об этом. Универсум – множество людей f - я g (x) - x знает об этом g (x, y) - x идентичен y
(g (f ))Ù("c1((Ø(g (c1, f )))Þ(Ø(g (c1)))) Никто не знает об этом: "c1(Ø(g (c1))) Все знают об этом: "c1(g (c1)) Кто-нибудь знает об этом: $c1(g (c1))
Пример. Здесьхолодно, но не сыро: (g )Ù(Ø(g )) Пример. Ни p ни q: Øp и Øq Пример. Если p то q иначе r: (pÞq)Ù(ØpÞr) Пример. p либо q: pÙØqÚØpÙq Пример. p поэтому q: pÙ(pÞq) Пример. Чай без сахара не сладкий и не вкусный. g - чай содержит сахар g - чай сладкий g - чай вкусный (Ø(g ))Þ((Ø( g ))Ù(Ø( g )))
Возможен другой перевод: ((Ø(g ))Þ(Ø( g )))Ù((Ø( g ))Þ((Ø( g )))
Пример. Его отец слесарь, а все братья токари. Универсум – множество мужчин f - он f (x) - отец для x g (x) - x есть слесарь g (x) - x есть токарь g (x, y) - x идентичен y
(g (f (f )))Ù("c1(((Ø(g (c1, f )))Ù(g (f (c1), ( f (f ))))Þ(g (c1))))
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (182)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |