Блок 1 Тест самоконтроля

1. Является ли функция F первообразной для функции f на указанном промежутке:

a) F(x)=3–sinx, f(x)=cosx, x Î(- ; );

б) F(x)=5– , f(x)= – 4 , x Î(- ; );

в) F(x)= со sx–4, f(x)= – sinx, x Î(- ; );

г)F(x)=3x + , f(x)= , x Î(0; )?

Ответ: нет, да, да, нет.

 

2. Правильно ли вычислены интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) ;                  д) ?

Ответ: нет, да, нет, да, да.

 

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y =sinx, y =0, x =0, x =p.

Ответ:2.

4. Верны ли равенства:

а) ;           б) ;        в) ;            

г)              д) ;

 

е) ?

Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) нет; д) да; е) нет.

Блок 1 Контрольный тест Вариант 1

1. Найдите неопределённый интеграл:

а) ; б) ; в) ; г) ;  

д) ; е) .    

2. Вычислите интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y=1– x³, y=0, x=0;

б) y=sinx, y=0, x=p/6, x=p/3.

Блок 1 Контрольный тест Вариант 2

1. Найдите неопределённый интеграл:

а) ; б) ; в) ; г) ;  

д) ; е) .    

 2. Вычислите интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y= x⁴, y=1;

б) y=2sinx, y=0, x=p/6, x=p/3.

Блок 2 Задачи

1. Найдите неопределённый интеграл:

а) . Решение: заметим, что подынтегральная функция не является функцией из таблицы в явном виде, поэтому её необходимо преобразовать: , интеграл от полученной функции легко вычисляется: . Ответ: +С. 

б) . Решение: аналогично примеру под буквой а) упрощаем подынтегральную функцию и вычисляем интеграл: .

Ответ: .

2. Для функции f(х)=2cosx найти первообразную, график которой проходит через точку М(–0,5p ;1). Решение: Найдём множество первообразных функции f(x), F(x)=2sinx + C, известно что график первообразной проходит через точку M, значит F(-0,5π)=1, но F(x)=2sinx + C , следовательно , откуда С= –1. Ответ: F(x)=2sinx –1.

3. Вычислите интеграл:

; Решение: упрощаем подынтегральную функцию и вычисляем определённый интеграл: . Ответ: .

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y = (x +2)², y =0, x =0. Решение: площадь искомой фигуры является площадью соответствующей криволинейной трапеции, которую можно вычислить с помощью определённого интеграла, нижний предел интегрирования равен –2 т.к. в точке

(–2;0) график функции пересекает прямую у=0, верхний предел интегрирования равен 0, т.к. фигура ограничена прямой х=0. .

Ответ: .

Блок 2 Тест самоконтроля

1. Является ли функция F первообразной для функции f на указанном промежутке:

a) F(x)=2x +cos , f(x)= 2 – sin , xÎ(- ; ); б) F(x)= , f(x)= – , xÎ(-2;2);

в) F(x)= , f(x)= , xÎ(0; ); г) F(x)= , f(x)= , xÎ(0; )?

Ответ: да, да, нет, да.

2. Для функции f(х)=  найдите первообразную, график которой

проходит через точку М(4;5):

а) F(х)= +3; б) F(х)=2 +1; в) F(х)=2 +3; г) F(х)= +5.

Ответ: б)

3.Верны ли равенства:

 а) ;          б) ;          в) ;

г) ; д)  ?

Ответ: да, да, да, нет, да.

Блок 2 Контрольный тест Вариант 1

1. Найдите неопределённый интеграл:

а) ;           б) ;                                                     в) ;    г) ;  

д) .

2. Графики первообразных F₁ и F₂ функции f(x)=3x² –2x+4 проходят через точки М(–1;1) и N(0;3). Какова разность этих двух первообразных? Какой из графиков F₁ и F₂ расположен выше?

 

3. Вычислите интегралы:

а) ; б) ; в) .

 

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y= x² –2x+4, y=3, x=–1;

б) y=sinx, y=1/2, x=p/6, x=5p/6.

 

Блок 2 Контрольный тест Вариант 2

1. Найдите неопределённый интеграл:

а) ;           б) ;                                                     в) ; г) ;  

д) .

2. Графики первообразных F₁ и F₂ функции f(x)=–6x² +4x+1 проходят через точки М(0;2) и N(1;3). Какова разность этих двух первообразных? Какой из графиков F₁ и F₂ расположен выше?

3. Вычислите интегралы:

а) ; б) ; в) .

 

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y= x³ , y=8, x=1;

б) y=cosx, y=1, x=–p/3, x=p/3.

 

Блок 3 Задачи.
 Покажите, что функции F₁(x)=tg²x , F₂(x)= , F₃(x)=  являются первообразными функции f(x)=  на интервале (- p /2; p /2). Найдите первообразную для функции f на интервале

(- p /2; p /2), график которой проходит через точку (0;10).

 

2. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (2;3), если угловой коэффициент касательной в точке x равен 3x² .

 

3. Материальная точка движется по координатной прямой со скоростью v(t)= sint cost. Найдите уравнение движения точки, если при t = p /4 её координата равна 3.

 

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой 2x –4x² , линией x =–2 и касательной к данной параболе, проведённой через её точку с абсциссой x =0.

 

5. В каком отношении делится площадь квадрата параболой, проходящей через две его соседние вершины и касающейся одной стороной в её середине?