Аналитическое задание инверсии

Введение

 

В развитии геометрии можно указать четыре периода.

Первый период (до 7 в. до н. э) - зарождение геометрии в Египте и Вавилоне. Геометрия этого периода - наука эмпирическая.

Второй период (7-3 в. до н. э) - греческий. В Греции геометрия тесно связана с философией. Геометрия этого периода - наука теоретическая.

В 3 в. до н.э. появились „Начала" Евклида - первая попытка построения геометрии на принципах Аристотеля (384-322 до н. э).

Третий период (17-18 в) развития геометрии связан с переходом её на качественно новую ступень по сравнению с геометрией древних. Этот период времени характерен открытием новых методов исследования и появлением различных дисциплин.

Аналитическая геометрия, дифференциальная геометрия, проективная геометрия, начертательная геометрия - это всё приложения того или иного аппарата к объектам евклидовой геометрии.

Четвёртый период (с 19 в) в развитии геометрии связан с именами русского математика Н.И. Лобачевского (1793-1856), немецкого математика К. Гаусса (1777-1855) и венгерского математика Я. Бойаи (1802-1860).

Именно эти учёные независимо друг от друга пришли к открытию неевклидовой геометрии, которая называется теперь геометрией Лобачевского.

Этот период времени ознаменован более пристальным вниманием математиков к проблеме обоснований геометрии.

Почти в одно и то же время появляются различные аксиоматические системы для обоснования евклидовой геометрии. Одна из них принадлежит немецкому математику Д. Гильберту (1540-1603).

Система аксиом Гильберта состоит из пяти групп (аксиомы связи, аксиомы порядка, аксиомы конгруэнтности, аксиомы непрерывности, аксиома параллельности).

Если в этой системе аксиом заменить аксиому параллельности на аксиому Лобачевского, то мы получим аксиоматику геометрии Лобачевского, которая и рассматривается в дипломной работе.

В связи с аксиоматическим построением геометрии возникает, в частности, вопрос о непротиворечивости выбранной аксиоматики, что связано с построением некоторой модели.

В дипломной работе предлагается одна из моделей геометрии Лобачевского, а именно, модель французского учёного А. Пуанкаре (1854-1912), и с помощью её решается вопрос о непротиворечивости геометрии Лобачевского.

Заметим, что при построении модели Лобачевского большую роль играет инверсия (симметрия относительно окружности). Поэтому первая глава работы посвящена инверсии.

Глава 1. Инверсия и её свойства

 

Определение инверсии

 

Присоединим к евклидовой плоскости „бесконечно удалённую" точку . Получим расширенную плоскость, обозначим её через П.

Пусть в плоскости П дана окружность (O,r) с центром O и радиусом r.

Определение. Инверсией относительно окружности (O,r) называют такое отображение П на себя, при котором всякой точке А П, (А≠О, А≠ ) ставится в соответствие точка А' П так, что выполняются условия:

 

1) А'  [OA),

2) |OA|·|OA'|= .

 

Точке О ставим в соответствие точку  и, обратно, точке -точку О.

Символом обозначим инверсию относительно окружности (O,r).

Отметим простейшие свойства инверсии, которые вытекают из определения.

. Пусть А П и  (A) =A'. Тогда  (A') =A.

Точки А и А' называются инверсными.

. Инверсия является 1-1 отображением расширенной плоскости П на себя.

. Пусть А П и  (A) =A'.

Если |OA|>r, то |OA'|<r.

Если |OA|<r, то |OA'|>r.

Если |OA|=r, то |OA'|=r.

Таким образом, точки окружности (O,r) и только они, являются при  неподвижными.

Легко выполнить построение точки, инверсной данной. Рассмотрим три возможных случая:

1) |OA|=r, то A'=A.

2) |OA|>r. Проведём [OA). Через точку А проводим касательную к (O, r). Пусть Т - точка касания. Проведём из Т перпендикуляр на [OA). Основание этого перпендикуляра и есть искомая точка А'. Действительно, из прямоугольного ОТА имеем |OA|·|OA'|= = .

3) |OA|<r. В силу свойства получаем

следующее построение: восставляем в точке А перпендикуляр к [OA), в точке пересечения этого перпендикуляра с (O, r) проводим касательную к (O, r) и в пересечении касательной с [OA) получаем искомую точку А'.

 

 

Продолжим рассмотрение свойств инверсии.

. Пусть A Пи В Пи  (A) =A',  (B) =B'.

Тогда

 

 

Доказательство.

 

 

ОАВ~ ОВ'А',

 

тогда

 

.

 

Учитывая, что

 

,

 

получаем

 

 

Введём понятие сложного отношения четырёх точек.

Определение.

.

 

. Инверсия сохраняет сложное отношение четырёх точек.

Доказательство. Даны точки A, B, C, D.  (A) =A',

 (B) =B',  (C) =C',  (D) =D'. Используя предыдущее свойство, имеем:

.

 

Отсюда получаем

 

 

Тогда

 

 

т.е. (ABCD) = (A'B'C'D').

Замечание.

Пусть A'=  (A). Имеем

 

 

Откуда, перемножив, получаем

 

и .

 

Зафиксируем точку В, а r пусть неограниченно возрастает, тогда |AB|=|A'B|, т.е. инверсия относительно „окружности бесконечно большого радиуса" есть симметрия относительно прямой.

 

Аналитическое задание инверсии

 

Пусть A'=  (A), где А O, А . Введём на плоскости декартову прямоугольную систему координат так, чтобы её начало совпало с точкой О.

 

 

Пусть x, y - координаты точки А, x', y'-координаты точки А'. Выразим х и у через х' и у'. Имеем А' [OA) и

 

,

.

Очевидным образом получаем

 

,

 

откуда находим

 

 (1)