Сохранение углов при инверсии
Определение. Прямые a и b назовём антипараллельными относительно О, если .
Лемма. Если (A) =A' и (B) =B', то прямые АВ и А'В' антипараллельны. Доказательство получим, рассмотрев ОАВ и ОА'В'. Теорема 3. Инверсия сохраняет величину углов. Доказательство. Пусть f и g-кривые, выходящие из точки А, f'= (f), g'= (g) и A'= (A).
Проводим из точки О луч, пересекающий f и g в точках В и С соответственно. Пусть B'= (B), C'= (C). По лемме прямые АВ и А'В', АС и А'С' антипараллельны. Значит, OA'B'= OBA и OA'C'= OCA, тогда
C'A'B'= OA'B' - OA'C'= OBA- OCA= CAB.
Переходя в равенстве C'A'B'= CAB к пределу при АОС 0 (луч ОС приближаем к лучу ОА), получим утверждение теоремы. Замечание. Доказанное свойство позволяет легко строить образы прямых и окружностей при инверсии. Пусть, например, дана прямая L и
Проведём луч l с началом О, перпендикулярно L. Пусть A'= (A). В силу теорем 2 и 3 заключаем, что L'= (L) - окружность с диаметром ОА'.
5. Инвариантные прямые и окружности
Из теоремы 2 следует, что прямые, проходящие через центр инверсии, и только они, отображаются при на себя, т.е. эти прямые инвариантны при . Мы уже отмечали, что ( (O,r)) = (O,r), т.е. окружность (O,r) инвариантна при . Существуют ли другие окружности, инвариантные при ? Ответ на этот вопрос даёт следующая. Теорема 4. Пусть S-окружность, отличная от (O,r). (S) =S тогда и только тогда, когда S ортогональна (O,r), Доказательство. Допустим, что (S) =S. Ясно, что S пересекает (O,r) в двух точках, скажем, A и B.
Имеем .
Согласно теореме 3
( (O,r) ^ ) = ( (O,r) ^ ),
а это означает ортогональность S и (O,r). Докажем обратное. Пусть теперь (O,r) ортогональна S, A и B - точки пересечения S и (O,r). Проведём в точке А касательные к S и (O,r), которые пройдут через центры окружностей (O,r) и S соответственно.
Отсюда ясно, что S-единственная окружность, ортогональная (O,r) и проходящая через точки A и B. Так как (если допустить, что , то (S) - прямая, ортогональная (O,r) и не проходящая через точку O, что невозможно), то (S) - окружность, ортогональная (O,r) и проходящая через точки A и B. Значит, (S) =S. Теорема 5. Окружность, проходящая через две инверсные точки, преобразуются при инверсии в себя. Доказательство. Пусть A'= (A), S - окружность такая, что и . Пусть B - произвольная точка S и B'= , тогда
,
т.е. (B) =B', а это значит, что
(S) =S'.
Следствие. Окружность, проходящая через две инверсные точки, ортогональна к окружности инверсии. Рассмотрим далее две задачи, которые нам потребуются в дальнейшем изложении. Задача 1. Дана прямая и окружность. Найти инверсию, переводящую прямую в окружность. Дана прямая l и окружность S с центром в точке С. Проведём (СР)
l, .
Примем О за центр инверсии, тогда Р и Р' - инверсные точки, значит
r= .
Итак,
-
искомая инверсия, переводящая прямую в окружность. Задача 2. Даны две окружности ( ) и ( ). Найти инверсию, переводящую одну окружность в другую. Имеет место Теорема. Любые две неравные окружности гомотетичны и имеют внутренний и внешний центр гомотетии.
Т.к. инверсные точки, по определению, принадлежат одному лучу с вершиной в центре инверсии, то за центр инверсии выберем внешний центр гомотетии. Пусть это точка О, тогда радиус инверсии r= (см. рисунок).
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (361)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |