РАЗРАБОТКА, РЕАЛИЗАЦИЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ УПРОЩЕННЫХ МОДЕЛЕЙ

 

Аналитические модели (АМ) – это математические модели, рассчитываемые аналитически, формульно и позволяющие для заданных значений параметров системы непосредственно получать, рассчитывать значения характеристик системы. Исходная ССМ может быть неоднородной (обслуживает потоки заявок нескольких типов), не экспоненциальной (законы поступления и обслуживания заявок могут быть не экспоненциальными), может содержать неразрешенные в сетях МО ресурсы (например, память, узлы захвата и освобождения памяти, узлы выбора маршрутов в зависимости от состояний узлов и в соответствии с заданными условиями и т.п.).

Соответственно задача состоит в том, чтобы получить указанную сеть МО из исходной ССМ путем внесения в нее упрощений. Для этого:

1. Преобразуем исходную ССМ в сеть МО разомкнутого типа.

2. Заменим многоканальные узлы одноканальными.

3. Преобразуем сеть МО в однородную сеть.

4. Преобразуем сеть МО в экспоненциальную сеть.

5. Рассчитаем характеристики.

Построенная ранее ССМ (рисунки 2.1, 2.2) или GPSS-ССМ (рисунок 3.1) является разомкнутой, неоднородной (обслуживает два типа потоков заявок), не экспоненциальной и к тому же содержит такие неразрешенные в сетях МО ресурсы как память, узлы типа захвата и освобождения памяти, узел выбора маршрута в зависимости от состояния памяти.

Из исходной ССМ убираем:

- узел b₇ и связанные с ним альтернативные пути (маршруты) и соответствующие приемники b⁽¹⁾₉ и b⁽²⁾₉, оставляя тем самым только основные маршруты с известными вероятностями их прохождения;

- убираем узел памяти b₅ и b₆ соответственно связанные с ним узлы b_5,1 , b_6,2.

Полученный результат представлен на рисунке 4.1, только для одного из потоков, поскольку маршруты перемещения заявок оказываются одинаковыми для 1-го и 2-го потоков.

 

Рисунок 4.1- Сеть МО (для 1-го потока)

 

Для этого для каждого многоканального узла j с канальностью (Kj) и для каждого потока i (который обслуживается в этом узле) пересчитаем исходные трудоемкости запросов (средние значения длительности обслуживания в канале t ⁽ⁱ⁾_j ) и получим новые значения t*⁽ⁱ⁾_j по формуле:

 

t *⁽ⁱ⁾_{j =} t ⁽ⁱ⁾_j / Kj .

 

Здесь многоканальным является узел b₁ (c K₁ = 4) и b₃ (c K₃ = 2). Через этот узел проходят заявки 1-го и 2-го типов . Заменим его эквивалентным одноканальным узлом b*₁ (c K₁ = 1).

Тогда для первого потока

 

t *⁽¹⁾_{1 =} t ⁽¹⁾₁ / K₁ = 296 / 4 = 74

 

Для второго потока

 

t *⁽²⁾_{1 =} t ⁽²⁾₁ / K₁ = 296 / 4 = 74 .

Заменим все потоки заявок одним потоком с усредненными параметрами.

Для рассматриваемой модели:

 

j =1 или 2;

Q = {1, 2};

λ₀ ⁽¹⁾ = 0,004; t₀ ⁽²⁾=240;

p⁽¹⁾ = 0,5; p⁽²⁾=0,5;

t*⁽¹⁾₁ = 74; t*⁽²⁾₁ = 74;

t*⁽¹⁾₂ =36; t*⁽²⁾₂ = 36;

t ⁽¹⁾₃ =52; t ⁽²⁾₃ = 52

m*_t = 240.

 

При этом эквивалентное среднее значение длительности обслуживания для первого узла b*₁

 

t*_{1 =} p⁽¹⁾ * t*⁽¹⁾_{1 +} p⁽²⁾ _* t*⁽²⁾₁ = 74.

Для узла b*₂

t*_{2 =} p⁽¹⁾ * t *⁽¹⁾_{2 +} p⁽²⁾ _* t *⁽²⁾₂ = 36.

Для узла b₃

t_{3 =} p⁽¹⁾ * t ⁽¹⁾_{3 +} p⁽²⁾ _* t ⁽²⁾₃ = 52.

 

Для рассматриваемой сети МО получим следующие значения параметров:

1. Для закона поступления заявок усредненного потока параметр экспоненциального распределения m_t = m*_t = 240 , скорость их поступления λ = 0,004.

2. Для закона распределения длительности обслуживания заявок в устройстве b₁ параметр экспоненциального распределения ₍средняя длительность обслуживания в канале узла) m_t = t*₁ = 74.

3. Для закона распределения длительности обслуживания заявок в устройстве b₂ параметр экспоненциального распределения ₍средняя длительность обслуживания в канале узла) m_t = t*₂ = 36.

4. Для закона распределения длительности обслуживания заявок в устройстве b₃ параметр экспоненциального распределения ₍средняя длительность обслуживания в канале узла) m_t = t*₃ = 52.

В результате проведенных упрощений получена модель в виде разомкнутой, однородной, линейной, экспоненциальной сети МО с одноканальными устройствами.

Представим внешнюю среду одним узлом b₀ (вместо b₀ и b₄) и в качестве источника и в качестве приемника. Запросы приходят из внешней среды и возвращаются в нее.

Тогда сеть состоит из n = 5 узлов, где N = 3 устройств.

Состав узлов сети - b₀, b₁, b₂, b_3, b₅.

Опишем матрицу вероятностей переходов P, при этом будем учитывать все узлы, кроме маршрутных (таблица 4.1)

 

Таблица 4.1- Матрицу вероятностей переходов

	b0	b*1	b*2	b*3
b0	0	1	0	0
b*1	0	0	1	0
b*2	0	0	0.5	0,5
b*3	1	0	0	0

 

Структура сети МО с указанием исходных параметров (интенсивностей потоков и параметров устройств) представлена на рисунке 4.2.

Рисунок 4.2- АМ (сеть МО)

 

В таблице 4.2 представлены параметры узлов сети МО.

 

Таблица 4.2- Параметры узлов сети МО

Узел	Параметр	Описание	Значение
b0	z0,1	– тип узла	источник
	z0,2	- назначение	генерация потока заявок
	z0,3	- закон распределения времени τ между заявками в потоке fτ	случайный
	z0,4	- тип закона	экспоненциальный
	z0,5	- среднее время τ - mτ	240
		Примечание: интенсивность поступления заявок λ = 1 / mτ = 0,004
b*1	z1,1	– тип узла	устройство
	z1,1	– канальность K1	1
	z1,3	– быстродействие канала B1 [заявка/1 времени]	1
	z1,4	– дисциплина обслуживания	FIFO
b*2	z2,1	– тип узла	устройство
	z2,2	– канальность K2	1
	z2,3	– быстродействие канала B3	1
	z2,4	– дисциплина обслуживания	FIFO
b3	z3,1	– тип узла	устройство
	z3,2	– канальность K3	1
	z3,3	– быстродействие канала B4	1
	z3,4	– дисциплина обслуживания	FIFO
b5	Z5,1	- тип узла	маршрутный
	Z5,2	- назначение	вероятностный выбор маршрута
	Z5,3	- вектор вероятностей переходов	0,5; 0,5

 

Параметры потока заявок приведены в таблице 4.3.

Таблица 4.3- Параметры потока заявок сети МО

Параметр	Описание	Значение
h0,1	закон распределения времени τ между заявками в потоке f(1)τ	случайный
h0,2	тип закона	экспоненциальный
h0,3	среднее время mτ	240
h1,1	закон распределения ft,1 времени t обслуживания в канале b*1	случайный
h1,2	тип закона	экспоненциальный
h1,3	среднее время обслуживания в канале b*1 mτ	74
h2,1	закон распределения ft,2 времени t обслуживания в канале b*2	случайный
h2,2	тип закона	экспоненциальный
h2,3	среднее время mτ обслуживания в канале b*2	36
h3,1	закон распределения ft,3 времени t обслуживания в канале b3	случайный
h3,2	тип закона	экспоненциальный
h3,3	среднее время mτ обслуживания в канале b3	52

 

Состав искомых характеристик представлен ниже. Это узловые характеристики:

- для узла b₁ - l₁, m₁, ρ₁, ω₁, u₁;

- для узла b₂ – l₂, m₂, ρ₂, ω₂, u₂.

- для узла b₃ – l₃, m₃, ρ₃, ω₃, u₃;

Системные характеристики:

 

L = l₁ + l₂+ l₃;

M = m₁ + m₂+ m₃;

U = α_1* u₁+ α_2* u₂+ α_3* u_3;

W = α_1* ω₁+ α_2* ω₂+ α_3* ω₃ .

1. Опишем возможные состояния сети. Здесь это вектор , где M_i – число заявок в узле b_i.

Вектор , где M₁ – число заявок в узле b₁ (любое), M₂ – число заявок в узле b₂ (любое), M₃ – число заявок в узле b₃ (любое).

2. Вычислим неизвестные интенсивности потоков λ_i на входах в устройства. Для этого построим и решим систему из N линейных уравнений, используя свойство линейности, выражаемое для каждого из устройств i = 1, 2, …, N как

 

.

 

Здесь N = 3 и искомые величины: λ_1, λ₃ и λ_4. Система уравнений выглядит как

 

λ₁ = λ_{0 *} p_0,1 + λ_{1 *} p_1,1 + λ_{2 *} p_2,1+ λ_{3 *} p_3,1 ;

λ₂ = λ_{0 *} p_0,4 + λ_{1 *} p_1,4 + λ_{2 *} p_2,4+ λ_{3 *} p_3,4 .

λ₃ = λ_{0 *} p_0,3 + λ_{1 *} p_1,3 + λ_{2 *} p_2,3+ λ_{3 *} p_{3,3 ;}

 

А после подстановки значений p_i,j из матрицы P

 

λ₁ = λ_{0 *} 0 + λ_{1 *} 0 + λ_{2 *} 1+ λ_{3 *} 0 ;

λ₂ = λ_{0 *} 0 + λ_{1 *} 0 + λ_{2 *} 0.5+ λ_{3 *} 0.5 _;

λ₃ = λ_{0 *} 1 + λ_{1 *} 0 + λ_{2 *} 0+ λ_{3 *} 0 .

 

Соответственно

 

λ₁ = 0,004;

λ₂ = 0,008;

λ₃ = 0,004.

3. Рассчитываем коэффициенты передач (среднее число посещений заявкой каждого устройства) α_k = λ_k / λ₀ .

 

α₁ = λ₁ / λ₀ = 1;

α₂ = λ₂ / λ₀ = 2;

α₃ = λ₃ / λ₀ = 1.

 

4. Рассчитываем коэффициенты загрузок устройств ρ_k = λ_{k *} t_k.

 

ρ₁ = λ_{1 *} t₁ = 0,296;

ρ₂ = λ_{2 *} t₂ = 0,288;

ρ₃ = λ_{3 *} t₃ = 0,208.

 

Так как коэффициенты загрузок меньше 1, то сеть работает в стационарном режиме и можно продолжать расчеты.

5. Рассчитываем узловые характеристики по формулам:

 

l_i = ρ_i² / ( 1 - ρ_i ) ,

m_i = ρ_i / ( 1 - ρ_i ) ,

ω_{i =} l_i / λ_{i ,}

u_{i =} m_i / λ_{i .}

 

Для узла b₁ получаем

 

l₁ = 0,124; m₁ = 0,42; ω₁ = 31; u₁ = 105;

для узла b₂ получаем

l₂ = 0,116; m₂ = 0,404; ω₂ = 14,5; u₂ = 50,5;

для узла b₃ получаем

l₃ = 0,055; m₃ = 0,263; ω₃ = 13,75; u₃ = 65,75.

Полученные результаты сведем в таблицу 4.4.

 

Таблица 4.4- Значения характеристик сети МО

Узел	Характеристики	Значение
	Узловые
b1	l1	0,124
	ρ1	0,296
	m1	0,42
	ω1	31
	u1	105
	α1	1
b2	l2	0,116
	ρ2	0,288
	m2	0,404
	ω2	14,5
	u2	50,5
	α2	2
b3	l3	0,055
	ρ3	0,208
	m3	0.263
	ω3	13,75
	u3	65,75
	α3	1
	Системные
	L	0,295
	M	1,087
	U	221,25
	W	59.25

 

Реализуем имитационный метод расчета полученной АМ в системе GPSS World.

 

Рисунок 4.3- GPSS-модель сети МО

Построим GPSS-модель по соответствующей ССМ, ориентированной на язык GPSS.

Текст GPSS модели приведен ниже.

 

Листинг 4.1- Текст GPSS модели

 

   GENERATE (Exponential(1,0,240))

 queue U_system

 queue w_b_1

   queue u_b_1

 SEIZE b_1

 depart w_b_1

 ADVANCE (Exponential(2,0,74))

 RELEASE b_1

 depart u_b_1

 queue u_sum_b_2

 

 Label_1 queue w_b_2

   queue u_b_2

 SEIZE b_2

 depart w_b_2

 ADVANCE (Exponential(3,0,36))

 RELEASE b_2

   depart u_b_2

 TRANSFER .5,,Label_1

 depart u_sum_b_2

   queue u_b_3

 queue w_b_3

 SEIZE b_3

 depart w_b_3

 ADVANCE (Exponential(4,0,52))

 RELEASE b_3

   depart u_b_3

   depart U_system

 TERMINATE 1

   start 100000

Листинг 4.2- Статистический отчет выполнения GPSS-модели

 

FACILITY ENTRIES UTIL. AVE. TIME AVAIL. OWNER PEND INTER RETRY DELAY

 B_1 100002 0.308 74.159 1 0 0 0 0 0

 B_2 200116 0.300 36.068 1 100002 0 0 0 0

 B_3 100001 0.217 52.102 1 100001 0 0 0 0

 

 

QUEUE MAX CONT. ENTRY ENTRY(0) AVE.CONT. AVE.TIME AVE.(-0) RETRY

 U_SYSTEM 11 2 100002 0 1.149 276.367 276.367 0

 W_B_1 8 0 100002 69323 0.135 32.565 106.148 0

 U_B_1 9 0 100002 0 0.444 106.723 106.723 0

 U_SUM_B_2 9 1 100002 0 0.428 102.970 102.970 0

 W_B_2 9 0 200116 140362 0.128 15.388 51.534 0

 U_B_2 9 1 200116 0 0.428 51.456 51.456 0

 U_B_3 8 1 100001 0 0.277 66.674 66.674 0

 W_B_3 7 1 100001 78392 0.061 14.572 67.437 0

 

Ниже в таблице 4.5 представлены результаты аналитического и имитационного (с разной длительностью – 10000, 50000, 100000 заявок) моделирования и вычислена погрешность. При этом за эталон взяты характеристики АМ.

Таблица 4.5- Результаты аналитического и имитационного моделирования сети МО

	Харак-тика	Значение характеристики				Погрешность, %
		АМ	ИМ (10000)	ИМ (50000)	ИМ (100000)	1	2	3
Узел
1	ρ1	0,296	0,312	0,309	0,308	5,4	4,39	4,05
	l1	0,124	0,142	0,135	0,135	14.51	8,87	8,87
	m1	0,42	0,454	0,444	0,444	8,09	5,71	5,71
	ω1	31	34,11	32,397	32,565	10,03	4,5	5,04
	u1	105	108,949	106,336	106,723	3,76	1,27	1,64
2	ρ2	0,288	0,303	0,301	0,3	5,2	4,51	4,16
	l2	0,116	0,135	0,128	0,135	16,38	10,34	16,38
	m2	0,404	0,438	0,429	0,428	8,41	6,19	5,94
	ω2	14,5	16,159	15,336	15,338	11,44	5,76	5,78
	u2	50,5	52,42	51,332	51,456	3,8	1,64	1,89
3	ρ3	0,208	0,221	0,218	0,217	6,25	4,8	4,32
	l3	0,055	0,068	0,062	0,061	23,64	12,73	10,91
	m3	0,263	0,289	0,279	0,277	9,88	6,08	5,32
	ω3	13,75	16,284	14,86	14,572	18,46	8,07	5,98
	u3	65,75	69,288	66,86	66,674	5,38	1,69	1,4
Система
	L	0,295	0,375	0,325	0,331	27,12	10,17	12,2
	M	1,087	1,181	1,151	1,149	8,65	5,89	5,7
	U	221,25	231,806	224,528	224,853	4,77	1,48	1,63
	W	59.25	66,553	62,593	62,525	12,33	5,64	5,53

 

Выводы.

Из полученных данных видно, что расхождения в значениях характеристик вполне приемлемы и имеют тенденцию к уменьшению с ростом длительности имитационного моделирования.