Средние величины и показатели вариации.

Понятие и значение средних величин.

Виды средних величин и способы их расчета.

Показатели вариаций

 

Понятие и значение средних величин.

Средние величины – обобщающие показатели, выражающие размеры и количественные соотношения общественных явлений.

Применение средних величин:

1) для оценки достигнутого уровня;

2) при анализе и планировании производственно-хозяйственной деятельности;

3) при выявлении взаимосвязей явлений;

4) при прогнозировании, а так же расчете нормативов.

Основное значение средних величин состоит в их обобщающей функции, т.е. в замене множества индивидуальных показателей одним – средним.

Основное условие расчета средних величин – однородность совокупности.

Виды средних величин и способы их расчета.

Таблица 3.

Средние величины
Степенные средние	Структурные средние

 

Варьирующий признак – признак, для которого вычисляется средняя величина.

Единицы варьирующего признака, каждая из которых имеет определенное числовое выражение, называют вариантами (x). Показатели частоты или повторяемости вариантов – весы (вес – y).

Количество (число) единиц обозначается n.

Степенные средние величины ( x ^ср ):

- это средняя арифметическая,

- это средняя гармоническая,

- это средняя геометрическая,

- это средняя квадратическая,

- это средняя кубическая.

Средняя арифметическая может быть простой (x^ср_пр.= ) и может быть взвешенной (x^ср_взв. ).

Средняя арифметическая взвешенная вычисляется в тех случаях, когда каждая варианта встречается в изучаемой совокупности не одинаковое число раз.

Пример. Имеются данные по зарплате по трем предприятиям акционерного общества.

Формула средней арифметической: x^ср=

Таблица 4.

№ п/п	Средняя заработная плата, тыс.руб., x	Численность работников, человек, f
1	15	120
2	17	200
3	20	180

 

Средняя заработная плата =

Решение:

x^ср_ариф.=  =  = 17600 руб. – средняя заработная плата.

Свойства средней арифметической:

1) сумма положительных и отрицательных отклонений вариант от средней арифметической равна нулю;

2) если весу (f) умножить или разделить на одно и тоже число, средняя арифметическая (x^ср) не изменится;

3) если варианту умножить или разделить на одно и то же число, средняя величина (x^ср) увеличится или уменьшится во столько же раз;

4) если в каждом варианте прибавить (отнять) одно и то же число, то среднее арифметическое увеличится (уменьшится) на то же число.

Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда весами (f) являются производные показатели, представляют собой произведение (x*f).

Пример. Определить среднюю заработную плату (x^ср).

Таблица 5.

№ цеха п/п	Средняя заработная плата, тыс.руб., x	Фонд оплаты труда, тыс.руб., Ѡ=x*f
1	18	3600
2	20	3000
3	15	3750

 

Формула средней гармонической: x^ср_гарм.=

Решение:

x^ср=  руб. – средняя заработная плата

Средняя геометрическая вычисляется в тех случаях, когда даны ценные темпы роста.

Формула средней геометрической: x^ср_геом=

Пример. Темп роста цен в процентах к предыдущему месяцу составил:

Таблица 6.

Декабрь	Январь	Февраль	Март
102%	100%	105%	103%

 

Определить средний темп роста цен за период?

Решение:

X^ср_геом.=  =1,025 или 102,5 %, т.е. декабря по март цены возросли на 2,5%.

Средняя арифметическая, средняя гармоническая и средняя геометрическая относятся к степенным средним.

Формула степенной средней: x^ср=  

Если k=1, то средняя будет арифметической: x^ср=

Если k=2, то средняя будет квадратической: x^ср=  

Если k=3, то средняя будет кубической: x^ср=  

Если k=0, то средняя будет геометрической.

Если k=-1, то средняя будет гармонической.

В итоге получаем мажорантность средних: x^ср_гарм.≤x^ср_геом.≤x^ср_ариф.≤x^ср_кв.≤x^ср_куб.

Структурные средние величины – это мода(Мо) и медиана(Ме).

Мода – величина признака, чаще всего встречающаяся в совокупности.

Например: С следующем интервальном ряду модой будет 15 тыс. руб. и 18 работников, т.к. зарплата 15 тыс. руб. встречается чаще всего – у 18-ти человек.

Таблица 7.

Заработная плата, тыс.руб.	5	10	15	20
Количество работников	2	10	18	3

 

Формула расчета моды в интервальном ряду:

Мо=х₀+j

где X₀ – начало модального интервала (нижняя граница);

j – шаг интервала;

f₁ – частота интервала, предшествующего модальному;

f₂ – частота модального интервала;

f₃ – частота интервала, следующего за модальным.

Пример.

Стаж работы, х	Число работников, f
до 4 лет	2
4-6	5
6-8	7
8-10	4
›10	2
Итого:	20

Мо= х₀+j  =

= 6+2*  =

= 7 (лет) – средний стаж работы

Таблица 8.

 

Медиана – это показатель, который находится в середине ранжированного ряда.

Таблица 9.

з/п, тыс.руб.

10

11

12

13

14

Например:

В дано ранжированном ряду Ме=12

Формула расчета медианы в интервальном ряду:

Ме=х₀+j

где х₀ – начало медианного интервала (нижняя граница);

j – шаг интервала;

∑f – сумма всех частот ряда;

S_m-1 – сумма накопленных частот интервалов до медианного;

f_me – частота медианного интервала.

Исходя из данных таблицы 8 середина = = = 10, т.е. 10-тый работник находится в интервале 6-8 лет.

Исходя из данных таблицы 8 Ме = 6+2  = 7 лет.

Средняя хронологическая вычисляется в тех случаях, когда информация предоставлена на момент времени, т.е. на дату.

Формула расчета средней хронологической: х^ср_хр. =

Пример. На 1.01. в организации было оформлено 600 человек, на 01.02 – 620, на 01.03 – 610, на 01.04 – 614. Определить среднеарифметическую списочность за первый квартал?

Решение: n=3, т.к. в одном квартале – 3 месяца,

Х^ср_хр. =  = 612 человек – среднесписочная численность работников в первом квартале.

Показатели вариации.

 

Вариация – это различия в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

Вариации имеют различную степень достоверности, например, х^ср=30 как для чисел от 1 до 59, так и от 29 до 31, но во втором случае х^ср более достоверна.

Для углубления анализа средняя величина должна дополняться показателями вариации, т.е. показателями отклонений индивидуальных единиц от средней. Чем меньше данные отклонения, тем средняя более показательна.

Основные показатели вариаций:

1) размах вариаций (R): R=x_max-x_min, где R-разница;

2) среднее квадратическое отклонение (δ) измеряет вариацию признака в единицах измерения, присущих данной средней величине:

δ_{простое} =  

δ_{взвешенное} =

δ² – дисперсия

Коэффициент вариации (Ʊ) измеряет вариацию признаков в процентах. До 33% вариация считается не значительной, а совокупность однородной.

Формула коэффициента вариации: Ʊ =