Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и путем расчетов

Для определения моды графическим методом строим по данным табл. 4 (графы 2 и 3) гистограмму распределения предприятий по изучаемому признаку.

М о

Расчет конкретного значения модыдля интервального ряда распределения производится по формуле:

      

 тыс. руб.

Вывод. Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее распространенная среднесписочная численность работников характеризуется средней величиной 293,3.

 

М е

Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

,           тыс. руб.      

Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий половина предприятий имеют в среднем затраты на рекламу не более 298,1 тыс. руб., а другая половина – не менее 298,1 тыс. руб.

    Расчет характеристик ряда распределения.

Для расчета характеристик ряда распределения , σ, σ², V_σ на основе табл. 4строится вспомогательная таблица 6 (  – середина j-го интервала).

Таблица 5

Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения

Общие затраты на рекламу, тыс. руб.	Середина интервала,	Число предпри-яитий, fj
1	2	3	4	5	6	7
122,6-189,6	155,8	2	311,6	-116,8	13642,24	27284,48
189,6-256,6	222,2	6	1333,2	-50,4	2540,16	15240,96
256,6-323,6	288,29	14	4036,06	15,69	246,18	3446,5
323,6-390,6	354,69	5	1773,45	82,09	6738,77	33693,84
390,6-457,6	421,4	3	1264,2	148,8	22141,44	66424,32
Итого		30	8718,51			45971,94

Расчет средней арифметической взвешенной:

                                

Расчет среднего квадратического отклонения:

                               

Расчет дисперсии:

² = 1532,7

Расчет коэффициента вариации:

               

Вывод: анализ полученных  значений показателей  и  говорит о том, что средняя величина затрат на рекламу предприятий составляет 272,6 тыс. руб., отклонение от средней величины в ту или иную сторону составляет в среднем 39,15 тыс. руб. (или 14,4%).

Значение V_σ = 14,4% не превышает 33%, следовательно, вариация затрат на рекламу в исследуемой совокупности предприятий незначительна и совокупность по данному признаку качественно тыс.руб., Мо=293,3 тыс. руб., Ме=298,1 тыс. руб.), что подтверждает вывод об однородности совокупности предприятий. Таким образом, найденное среднее значение затрат на рекламу предприятий является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятий.

 

Задание 2.

Связь между признаками – затраты на рекламу и численность туристов, воспользовавшихся услугами фирмы.

Таблица 6

Номер группы	Общие затраты на рекламу, тыс. руб.	Число предприятий	Численность туристов воспользовавшихся услугами фирмы, чел.
			всего	в среднем на одно предприятие
1	2	3	4	5 = 4 / 3
1	122,6-189,6	2	1296	648
2	189,6-256,6	6	5046	841
3	256,6-323,6	14	14252	1018
4	323,6-390,6	5	5905	1181
5	390,6-457,6	3	4041	1347
Итого		30	30540	5035

Вывод. Анализ данных таблицы 6 показывает, что с увеличением затрат на рекламу от группы к группе систематически возрастает и средняя численность туристов воспользовавшихся услугами фирмы по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

Для построения корреляционной таблицы необходимо знать величины и границы интервалов по двум признакам X и Y. Величина интервала и границы интервалов для факторного признака Х –затраты на рекламу. Для результативного признака Y – Для построения корреляционной таблицы необходимо знать величины и границы интервалов по двум признакам X и Y. При k = 5, у _max= 1406 чел., у _min= 662 чел.:

Интервальный ряд распределения результативного признака. Таблица 7.

Распределение предприятий по фонду заработной платы

Численность туристов воспользовавшихся услугами фирмы, чел., х	Число предприятий, fj
634-789	4
789-944	7
944-1099	9
1099-1254	6
1254-1409	4
Итого	30

Используя группировки по факторному и результативному признакам, строим корреляционную таблицу.

 Таблица 8.

Корреляционная таблица зависимости фонда заработной платы от среднесписочной численности работников.

Затраты на рекламу, тыс. руб.	Численность туристов воспользовавшихся услугами фирмы, чел.
	634-789	789-944	944-1099	1099-1254	1254-1409
122,6-189,6	2	2
189,6-256,6		4	3
256,6-323,6			8	1
323,6-390,6			2	3	1
390,6-457,6			1	1	2

Вывод. Анализ данных таблицы 8 показывает, что распределение частот групп произошло вдоль диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол таблицы. Это свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между затраты на рекламу и численностью туристов воспользовавшихся услугами фирмы.

 

Таблица 9

Номер фирмы п/п	Численность туристов воспользовавшихся услугами фирмы, чел.
1	889	-129	16641	790321
2	662	-356	126736	438244
3	1066	48	2304	1136356
4	634	-384	147456	401956
5	864	-154	23716	746496
6	1387	369	136161	1923769
7	1298	280	78400	1684804
8	1105	87	7569	1221025
9	1194	176	30976	1425636
10	1006	-12	144	1012036
11	988	-30	900	976144
12	887	-131	17161	786769
13	903	-115	13225	815409
14	1248	230	52900	1557504
15	1157	139	19321	1338649
16	978	-40	1600	956484
17	1054	36	1296	1110916
18	1097	79	6241	1203409
19	1190	172	29584	1229881
20	873	-145	21025	762129
21	1406	388	150544	1976836
22	1293	275	75625	1671849
23	902	-116	13456	813604
24	950	-68	4624	902500
25	778	-240	57600	620944
26	1049	31	961	1100401
27	992	-26	676	984064
28	1127	109	11881	1270129
29	755	-263	69169	570025
30	808	-210	44100	652864
Итого	30540		1161992	32251712

Общая средняя  вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

;                           

Расчет общей дисперсии по формуле:

;                

Межгрупповая дисперсия  вычисляется по формуле ;

Таблица 10

Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Численность туристов воспользовавшихся услугами фирмы, чел.	Число пред-приятий,	Среднее значение  в группе
1	2	3	4	5
122,6-189,6	2	648	-370	273800
189,6-256,6	6	841	-177	187974
256,6-323,6	14	1018	0	0
323,6-390,6	5	1181	163	132845
390,6-457,6	3	1347	329	324723
Итого	30	5035		950671

Расчет эмпирического коэффициента детерминации  по формуле ,

 или 81,8%

Вывод. 81,8% вариации объёма выпуска продукции предприятиями обусловлено вариацией среднесписочной численности работников, а 8,1% – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

                                  

Рассчитаем показатель:

 или 95,9%

Вывод: согласно шкале Чэддока связь между среднесписочной численностью менеджеров и объёмом продаж фирмами является весьма тесной.

Задание 3.

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,683 определите:

1. Ошибку выборки средних затрат туристических фирм на рекламу и границы, в которых будет находится средняя в генеральной совокупности.

2. Ошибку выборки доли туристических фирм с затратами на рекламу менее 321,8 тыс. руб. в месяц и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

 Средняя ошибка выборки  - это среднее квадратическое отклонение всех возможных значений выборочной средней от генеральной средней, т.е. от своего математического ожидания M[ ].

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно (по различным формулам) в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка  выборочной средней  определяется по формуле:

,

Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

,

,

Границы задают доверительный интервал генеральной средней, т.е. случайную область значений, которая с вероятностью Р гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность Р называют доверительной вероятностью или уровнем надёжности.

Предельная ошибка выборки Δ кратна средней ошибке µ с коэффициентом кратностиt (называемым также коэффициентом доверия), который зависит от значения доверительной вероятности Р. Для предельной ошибки выборочной средней  это теоретическое положение выражается формулой:

Значения t вычислены заранее для различных доверительных вероятностей Р и протабулированы (таблицы функции Лапласа Ф). Для наиболее часто используемых уровней надежности Р значения t задаются следующим образом (табл. 11):

Таблица 11

Доверительная вероятность P	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Значение t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

По условию выборочная совокупность насчитывает 30 предприятий, выборка 5%-ная механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 600 предприятий. Выборочная средняя  и дисперсия  определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в таблице 11:

Таблица 12

Р	t	n	N
0,954	1	30	600	272,6	1532,7

Расчет средней ошибки выборки по формуле:

Расчет предельной ошибки выборки по формуле:

Определение по формуле доверительного интервала для генеральной средней:

272,6-6,97 272,6+6,97,

265,63 тыс. руб. 279,57 тыс. руб.

Вывод. На основании проведенного выборочного обследования предприятий региона с вероятностью 0,683 можно утверждать, что для генеральной совокупности предприятий величина средней затрат на рекламу находится в пределах от 265,63 тыс. руб. до 279,57 тыс. руб.