Курс лекций по дисциплине «Основы теории цепей»

Лектор – Шевгунов Т.Я. МАИ 2019.

 

Содержание:

1. Основные элементы и законы цепей.

2. Расчет электрических цепей

2.1. Анализ цепи с помощью законов Кирхгофа.

2.2. Метод эквивалентных преобразований.

2.3. Метод делителей.

2.4. Принцип суперпозиции (Метод наложения).

2.5. Метод узловых напряжений.

2.6. Теорема Тевенина.

2.7. Теорема Нортона.

2.8. Метод эквивалентных генераторов

2.9. Анализ Мощности.

3. Анализ электрических цепей при гармоническом воздействии.

3.1. Введение о гармонике.

3.2. Комплексная амплитуда

3.3. Расчет электрической цепи методом комплексных амплитуд.

3.4. Анализ Мощности при гармоническом воздействии, синтез эквивалентного сопротивления.

4. Частотные характеристики.

5. Частотные характеристики, теория четырехполюсника.

6. Цепи второго порядка (Колебательный контур).

7. Частотные характеристики простейших контуров.

 

Основные понятия электрических цепей.

 

Радиоэлектронная (электрическая) цепь – это связанные и взаимодействующие между собой компоненты, служащие для обработки сигналов.

Носителями сигналов являются токи и напряжения.

Компоненты – элементы, используемые для создания цепи (резисторы, конденсаторы и т.д.).

Сигнал – изменение некоторой физической величины с течением времени (таким образом сигнал – функция от времени). Сигнал используется как носитель информации и для проведения теста цепи.

 

При изучении электрической цепи мы используем модель, которая отражает ключевые процессы, протекающие в цепи.

Моделью цепи является схема, в которой компоненты цепи заменены элементами.

Модели цепей подразделяют:

· на словесные,

· электрические принципиальные,

· графовые,

· матричные,

· схему как компьютерную модель.

 

Элементы схемы электрической цепи отражают свойства компонентов.

Элементы схемы:

· точка (клемма, узел)

· соединительная линия (короткое замыкание)

· сопротивление

· емкость

· индуктивность

· источник напряжения

· источник тока

Моделями сигналов являются математические функции времени – i ( t ).

Постоянный ток:

i ( t )= I  const обозначается большой буквой.

Ступенчатый ток (ток включения)

 

Основные физические величины в электрических цепях.

Ток – движение электрических зарядов через элемент (в элементе).

Ток – производная заряда по времени.

Наличие в формуле «-1» указывает на то, что протекание тока ведет к уменьшению заряда.

Ток, течет так, как мы направим его «стрелку», но так как ток имеет понятие направления, в случае получения отрицательного значения мы можем утверждать, что в реальности он протекает противоположно выбранному нами направлению.

Напряжение – численная характеристика, характеризующая работу по переносу заряда между точками.

По умолчанию мы принимаем в цепи согласованный выбор направления напряжения и токов (направления тока и напряжения сонаправлены).

 

Мощность – величина, характеризующая взаимодействие тока и напряжения.

Существует ВАХ – вольт-амперная характеристика.

      

 

 

 

Основные элементы и законы цепей.

Элементы схемы и их свойства.

Источник напряжения (ИН) – элемент, отражающий свойство поддерживать заданное напряжения, не смотря на протекающий через него ток.

Примером ИН могут служить различные аккумуляторы и батареи.

стрелка в изображении ИН показывает ЭДС.

Источник тока (ИТ) – элемент, который гарантирует протекание через себя заданного тока, не зависимо от приложенного на него напряжения.

Пример ИТ – фотодиод.

 Напротив ИТ указан ток, который он выдает (J)

 

Сопротивление – элемент, предназначенный для поглощения энергии

Путем преобразования закона Ома мы получаем доказательство того, что сопротивление есть элемент пассивный:

 

Короткое замыкание (Линия связи).

Линия связи имеет ряд особенностей:

1. Ток по короткому замыканию (КЗ) распространяется мгновенно и без потерь

2. Линия связи может быть любой длинны [0;+∞], при этом не возникает проблем для выполнения первой особенности.

3. КЗ – источник нулевого напряжения (участок бесконечной проводимости)

Примером короткого замыкания служит провод с малым удельным сопротивлением.

 

Разрыв цепи (Холостой ход) – любые две точки, между которыми нет связи – есть соединение разрывом цепи.

Свойства разрыва:

1. Разрыв – участок нулевой проводимости.

2. Разрыв – источник нулевого тока.

 

 

Законы цепей.

Введем понятия элементов топологии цепей:

· Точка, клемма, вывод – принципиальный объект схемы, можно размещать в любом месте, кроме положений внутри элемента.

· Ветвь – участок цепи между двумя клеммами (выводами/точками).

· Узел – точка, в которой сходится две и более ветвей.

· Контур – замкнутый путь, однократно проходящий черезлюбые узлы и ветви цепи.

 

Законы Кирхгофа для токов.

Алгебраическая сумма токов в любом из узлов цепи равна нулю!

Если фактически ток направлен из узла – он зовется «вытекающим» и берется с положительным знаком.

Если ток направлен в узел, то он – «втекающий» и берется с отрицательным знаком.

 

 

Следствие:

· Сумма втекающих равна сумме вытекающих

· Если в узле известны все токи кроме одного, то этот ток становится известным.

Закон Кирхгофа для напряжения.

Алгебраическая сумма напряжений вдоль любого контура равна нулю!

Направление обхода контура выбирается произвольно.

Если направление обхода совпадает с направлением V, то оно берется с положительным знаком.

 

 

Следствие: Между узлами А и В существует некоторое напряжение, у которого отсутствует зависимость от пути следования.

 

Теорема Телледжена

Сумма мощностей цепи равна нулю.

Элемент считается:

· Потребителем энергии, если P>0,

· Генератором энергии, если P<0,

· Элементом не участвующем в энергообмене, если P=0.

Следствие теоремы: Сумма мощностей генераторов равна сумме мощностей потребителей.

Пример полного расчета цепи:

Расчет электрических цепей

Анализ электрической цепи с помощью законов Кирхгофа.

Метод Кирхгофа – метод решения цепей, суть которого заключается в составлении системы уравнений по законам Кирхгофа для тока и напряжения, с последующим их решением относительно неизвестных токов.

Алгоритм решения цепи по методу Кирхгофа:

1. Определить число узлов и ветвей (N_у, N_в)

2. Определяем число контуров, не содержащих ИТ. (N_к)

3. Выбираем направления для токов и наносим контура на схему

4. Высчитываем требуемое число уравнений для каждого закона^*

5. Составляем систему и производим решение

Пример решения цепи (Метод Кирхгофа):

· В данной цепи три узла, пять ветвей и один источник тока, тогда:                                N_у=3; N_в=5; N_ИТ=1

· У данной цепи можно посчитать шесть контуров, однако понядобятся нам лишь два, в которые не входит ИТ. N_к=2.

· Вычислим число необходимых для системы уравнений, воспользовавшись следующими формулами

 

 

Вычислив получим: N_зкт=2; N_зкн=2.

 

1. Составим уравнения для узлов и контуров цепи:

2. Далее подставляем известные значения и решаем систему относительно неизвестных токов

 

 

Метод эквивалентных преобразований.

Способы применения метода:

1. Меняем топологию, но сохраняем все элементы, токи и напряжения

2. Меняем топологию и элементы (они исчезают/появляются) и при этом меняем токи и напряжения на них.

Изменение порядка следования элементов в ветви

 

Изменение состава контуров.

 

Метод эквивалентных преобразований (МЭП) подразумевает использование древнего принципа «Divide et empera» (лат. разделяй и властвуй). Решив использовать МЭП мы должны отделить цепь на две части: 1- та, которую надо исследовать, 2- та которую можно преобразовать так, что кардинально упростятся вычисления для первой.

 

Метод эквивалентных преобразований включает в себя:

1. Объединение источников

a. ИТ

b. ИН

2. Объединение сопротивлений

a. Последовательное

b. Параллельное

3. Преобразования ИН+R = ИТ ║ R

4. Преобразования треугольник – звезда.

Объединение источников напряжения возможно только при их последовательном включении:

Объединение источников тока возможно лишь при их параллельном соединении:

 

 

При последовательном соединении сопротивлений, их номиналы складываются:

 

При параллельном соединении:

Преобразования «ИН+ R = ИТ ║ R »

 

Преобразование треугольник - звезда

Порой возникают моменты, когда в цепи надо провести преобразования и на нашем пути появляется особое подключение – звезда или треугольник.

 

Их можно преобразовывать друг в друга, что может влечь дальнейшее упрощение схемы.

 

 

Для перехода нам потребуются следующие соотнашения:

· Треугольник переходит в звезду:

· Звезда переходит в треугольник:

 

 

Метод делителей.

Делитель напряжения – способ нахождения напряжения на выбранном участке последовательно соединенной цепи, в которой известно значение общего напряжения.

Важным выводом является тот факт, что напряжение делится на элементах пропорционально их сопротивлению.

Делитель тока

Делитель тока – метод поиска тока в искомой ветви параллельно соединенного участка цепи, если нам известен общий ток, поданный на участок

 

Принцип суперпозиции (Метод наложения).

Метод наложения – способ решения цепи, имеющей в своем составе более одного источника. Суть метода заключается в том, что мы последовательно зануляем каждый из источников и считаем частичные токи, которые в дальнейшем будут сложены, для вычисления токов исходной цепи.

Когда мы обнуляем источник происходит следующее:

· ИТ – переходит в разрыв цепи

· ИН – переходит в короткое замыкание

 

Стоит помнить что от количества источников зависит количество частичных токов.

 

 

Пример решения цепи методом наложения:

 

 

 

Метод узловых напряжений.

Метод узловых напряжений (потенциалов) – метод анализа электрических цепей. Применяется, когда число узлов меньше либо равно количеству независимых контуров.

Суть метода заключается в том, что мы принимаем потенциал одного из узлов (опорного или базового) равным нулю и составив уравнения по закону Кирхгофа для токов, решаем их относительно напряжений. После чего вычисляем неизвестные токи.

В качестве опорного (базового) узла мы можем выбрать любой из имеющихся в схеме, однако есть ряд условий, которые могут упростить решение.

Выбор опорного (базового) узла, условия «удачного» выбора:

· Тот, в который входит больше всего ветвей

· Тот, который соединен с ветвью ИН.

Также стоит учитывать, что два узла, соединенные идеальным ИН могут быть выделены как единый «Супер-узел»

 

Теорема Тевенина.

Теорема Тевенина:

Ток и напряжение в произвольной ветви активной цепи не изменится если оставшуюся активную часть цепи заменить эквивалентным источником напряжения с ЭДС равным «Е_э» и внутренним сопротивлением «R_э».

ЭДС эквивалентного источника будет равна напряжению холостого хода «U_хх» между выводами А и В, при исключении из цепи рассчитываемого участка.

 

Эквивалентное сопротивление «R_э» равно сопротивлению цепи относительно выводов А и В при обнулении источников энергии.

 

Пример решения цепи по теореме Тевенина:

 

 

По теореме Тевенина мы исключаем искомую ветвь (содержащая R4). Затем производим расчет напряжения холостого хода «U_хх»: оно равно падению напряжения на сопротивлении R3.

 

Rэ мы получим, посчитав сопротивление между точками а и b, при этом обнули источники. ИТ – разрыв, ИН – К.З. Тогда формула Rэ имеет вид:

 

U_хх=I₃*R₃=1*2=2 [В]

R_э=16/3 [Ом]

Найдем по закону Ома ток на R4:

Таким образом мы высчитали искомые характеристики исследуемого участка цепи пользуясь теоремой Тевенина.

 

Теорема Нортона.

Теорема Нортона:

Ток и напряжение произвольной цепи не измениться, если оставшуюся часть активной цепи заменить эквивалентным источником тока и параллельно соединенным с ним эквивалентным сопротивлением.

J_э равно току короткого замыкания (I_кз) протекающего через зажимы a и b при удалении из исходной электрической схемы исследуемой ветви.

Эквивалентное сопротивление определяется аналогично теореме Тевенина: а именно, мы считаем сопротивление между клеммами a и b при зануленных источниках.

 

Далее, для нахождения токов исследуемой ветви мы подключаем ее к нашей эквивалентной схеме замещения (J_э║R_э) и высчитываем искомую характеристику методом делителя.

 

Метод эквивалентных генераторов.

Метод эквивалентного генератора – способ нахождения характеристик отдельно взятой ветви электрической цепи.

 

Суть метода заключается в том, что выбранная для исследования ветвь принимается как «нагрузка», а оставшаяся часть схемы преобразуется в эквивалентный ИТ параллельный R_э или в эквивалентный ИН последовательный с R_э.

 

Данные действия позволяют упростить вычисления для исследуемой ветви так как цепь, содержащая более двух источников, упрощается до схемы, содержащей – один.

 

 

 

 

 

 

Анализ мощности.

Введем понятие мощности: Мощность – скорость расхода энергии

 

Мощность есть произведение напряжения на ток (если они согласованы):

 

Некоторые соотношения для пересчета мощностей на источниках в схеме:

Теорема Телледжена:

В электрической цепи сумма мощностей всех ее элементов равна нулю