Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Госудаврственное образовательное учреждение среднего профессионального образования Ярославской области

Борисоглебский политехнический техникум

МАТЕМАТИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

 

2013 г.

ВВЕДЕНИЕ

Методические указания составлены в соответствии с рабочими программами по дисциплине: «Математика» по специальностям: 080114 «Экономика и бухгалтерский учет»

Методические указания предназначены для помощи студентам СПО при самостоятельном освоении материала по некоторым разделам высшей математики и последующим выполнении контрольной работы. Содержит теоретическую информацию, необходимую для формирования необходимых умений при решении задач контрольной работы, а также примеры решения типовых задач контрольной работы.

В соответствии с учебным планом студенты должны выполнить одну контрольную работу.

Цель контрольной работы - определение уровня теоретической и практической подготовки студентов к самостоятельной и исследовательской работе.

Задачи контрольной работы находятся в полном соответствии с целью и заключаются в следующем:

§ систематизация, закрепление и расширение полученных студентами теоретических и практических знаний по математике;

§ развитие навыков самостоятельной работы и овладение методикой научного исследования при решении разрабатываемых в контрольной работе проблемных вопросов;

§ более глубокое изучение определенных разделов курса, которые в ходе занятий рассматривались лишь в ограниченной степени.

Контрольная работа выполняется письменно, содержательно, индивидуально; следует руководствоваться образцом выполнения заданий, предложенным в пункте 2.2.1. Поименные работы сдаются преподавателю на отдельных листах или в тетради. Необходимо указывать вариант контрольной работы. Контрольная работа представляется к рассмотрению в случае выполнения всех заданий контрольной работы. Зачтенной считается контрольная работа, если все задания выполнены без ошибок и без существенных замечаний.

 

 

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Содержание курса

Линейная алгебра

знать:

основные понятия теории матриц и определителей; понятие определителя, виды определителей; правила вычисления определителей; алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса;

уметь:

производить операции над матрицами; производить вычисление определителей; решать системы линейных уравнений.

 

Исследование операций

знать:

сущность линейного программирования;

алгоритм составления моделей задач линейного программирования; алгоритм решения простейших задач линейного программирования геометрическим и табличным С-методом;

уметь:

составлять модели задач линейного программирования; находить оптимальный план решения задачи линейного программирования геометрическим и табличным С-методом.

Элементы теории вероятностей, комбинаторики и математической статистики

знать:

понятия: событие, частота и вероятность появления события, совместные и несовместные события, полная вероятность; теорему сложения вероятностей; теорему умножения вероятностей; основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний; способы задания случайной величины; определения непрерывной и дискретной случайных величин; закон распределения случайной величины; определение математического ожидания, дисперсии дискретной случайной величины; среднее квадратичное отклонение случайной величины;

уметь:

находить вероятность в простейших задачах, используя классическое определение вероятностей; решать задачи с применением теоремы сложения вероятностей для несовместных событий; решение задач на перебор вариантов; строить ряд распределения случайной величины; находить математическое ожидание и дисперсию случайной величины по заданному закону ее распределения; находить среднее квадратичное отклонение случайной величины.

Методические рекомендации по изучению курса

Контрольная работа, предлагаемая в данном пособии в десяти вариантах, подразумевает выполнение следующих заданий:

1. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

2. Вычисление определителя четвертого порядка

3. Решение задачи линейного программирования геометрическим и табличным симплексными методами

4. Решение задачи теории вероятности (математической статистики)

Примеры решения типовых задач

 

Задание №1

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

 

Дана система линейных уравнений:

 

Решение.

 

Для решения системы методом Гаусса необходимо выписать расширенную матрицу коэффициентов системы уравнений:

 

 

 

Далее требуется привести матрицу к ступенчатому виду. Ступенчатой матрицей будем считать квадратную матрицу, если все элементы выше или ниже главной диагонали нулевые.

 

Тем самым образно получается ступень из нулей, а матрица считается приведенной к ступенчатому виду.

Нашу матрицу для удобства перепишем так, чтобы третья строка была на месте первой строки. Делаем мы это с целью упрощения процесса приведения.

 

Итак, получим матрицу:

 

 

 

Для того чтобы получить нули, в первом столбце начиная со второй строки, мы умножим первую строку на  и прибавим её соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам поочередно.

 

Получим матрицу:

 

 

 

Если для получения нулей во втором столбце использовать вновь первую строку мы потерям нули в первом столбце. Значит, необходимо использовать вторую строку. Вторую строку матрицы умножим на  и прибавим её к третьей строке, предварительно умноженной на ; также вторую строку мы умножим на  и прибавим её к четвертой строке, предварительно умножив её на .

 

Получим матрицу:

 

 

 

Нам осталось получить ещё один ноль в третьем столбце, и матрица будет считаться приведенной к ступенчатому виду, так как, начиная со второй строки, в каждой последующей строке будет на один ноль больше, чем в предыдущей.

Третью строку мы умножим на , четвертую умножим на , затем прибавим третью строку к четвертой.

 

Получим матрицу:

 

 

 

Таким образом, мы привели матрицу системы к ступенчатому виду; система подлежит дальнейшему решению.

Как видно, первый столбец матрицы отвечает за переменную и так далее, последний столбец – за столбец свободных членов системы.

 

Начнем обратный процесс:

 

 

 

Из последнего уравнения видно, что .

 

Подставим полученное значение последней переменной в третье уравнение системы. Получим: .

 

Аналогично получим: . Для самопроверки следует подставить полученные значения в каждое уравнение системы. Если получим верные равенства, то задание выполнено правильно, в противном случае следует искать ошибку.

Задание выполнено.

 

Ответ: 1, 2, 3, 4.

Примечание.

Иногда, встречаются системы уравнений, в которых итоговая ступенчатая матрица системы содержит в последней строке все нули, кроме элемента, соответствующего свободному коэффициенту системы. Такие системы не имеют решений. Также бывают случаи, когда после приведения матрицы системы к ступенчатому виду последнее уравнение системы всё же будет содержать более одной переменной, тогда система будет иметь бесконечное множество решений. Данные задания мы рассматривать не будем.

 

Задание №2