Задача 1. Использование электронных таблиц для решения задач на транспорте

Постановка задачи

Двум погрузчикам разной мощности не более чем за 24 ч нужно погрузить на первой площадке 230 т, на второй – 168 т. Первый погрузчик на первой площадке может погрузить 10 т в час, на второй – 12 т в час. Второй погрузчик на каждой площадке может погрузить по 13 т в час. Стоимость работ, связанных с погрузкой 1 т первым погрузчиком на первой площадке равна 8 у.е.; на второй – 7 у.е.; вторым погрузчиком на первой площадке – 12 у.е.; на второй– 13 у.е. Нужно составить план работы, т. е. найти, какой объем работ должен выполнить каждый погрузчик на каждой площадке, чтобы стоимость всех работ по погрузке была минимальной. Следует учесть, что по техническим причинам время работы первого погрузчика на второй площадке может быть не более 16 ч.

Математическая модель

Обозначения:

x₁₁ – объем работ, выполненный первым погрузчиком на первой площадке, т;

x₁₂ – объем работ, выполненный первым погрузчиком на второй площадке, т;

x₂₁ – объем работ, выполненный вторым погрузчиком на первой площадке, т;

x₂₂ – объем работ, выполненный вторым погрузчиком на второй площадке, т.

Целевая функция:

,                 (1)

Ограничения:

,                                       (2)

,                                       (3)

 ,                                    (4)

 ,                                    (5)

 ,                                     (6)

 ,                                     (7)

 ,                                     (8)

 .                                    (9)

Рис.2. Скриншот рабочего листа MS Excel с исходными данными

Рис.3. Скриншот рабочего листа MS Excel с формулами, соответствующими математической модели.

Рис. 4. Скриншот окна надстройки «Поиск решения».

Рис. 5. Скриншот рабочего листа MS Excel с результатами работы надстройки «Поиск решения».

Вывод

Для минимизации стоимости погрузочных работ первый погрузчик на первой площадке должен погрузить 100 т, на второй – 168 т, второй погрузчик на первой площадке – 130 т; использование второго погрузчика на второй площадке в данных условиях нецелесообразно. При таком плане погрузки стоимость работ составит 3536 у.е.

Задача 2. Исследование зависимости минимальной стоимости работы погрузчиков от ограничений на план работы.

Постановка задачи

Изменяя ограничения времени работы первого погрузчика на второй площадке в интервале [1; D] с шагом 1 ч, решить задачу из лабораторной работы №1 и построить график зависимости минимума целевой функции от максимального времени работы первого погрузчика на второй площадке.

 Математическая модель

Обозначения:

x₁₁ – объем работ, выполненный первым погрузчиком на первой площадке, т;

x₁₂ – объем работ, выполненный первым погрузчиком на второй площадке, т;

x₂₁ – объем работ, выполненный вторым погрузчиком на первой площадке, т;

x₂₂ – объем работ, выполненный вторым погрузчиком на второй площадке, т.

Целевая функция: указывается в соответствии с формулой 1.

Ограничения: указываются в соответствии с формулами 2-7 и 9, в формулу 8 вносим следующие изменения:

                                             (10)

,                             (11)

Рис.6. Скриншот рабочего листа MS Excel с исходными данными

Таблица 5

Результаты определения целевой функции при различных значениях ограничений на время работы погрузчика

Рис. 7. Диаграмма зависимости минимума целевой функции от максимального времени работы второго погрузчика на второй площадке.

Вывод

График зависимости минимума целевой функции от максимального времени работы первого погрузчика на второй площадке показывает, что начиная с 9 ч, минимум целевой функции не изменяется и составляет 3536 у.е. Однако, если сделать ограничение на время работы первого погрузчика на второй площадке 8 ч. и менее, наблюдается рост стоимости плана работы. Следовательно, технические причины могут увеличить затраты на погрузку, если время работы первого погрузчика на второй площадке D будет ниже 9 ч.