Методические рекомендации по изучению темы «Системы счисления»

Ученики, безусловно, знакомы с записью чисел как римскими, так и арабскими цифрами. Они привыкли видеть римские цифры в обозначении глав в книге, в указании столетий (XX в.) и в некоторых других нумерациях. Математические расчеты они всегда производили в арабской системе чисел. В данной теме учителю предстоит раскрыть перед учениками эти, казалось бы, знакомые вещи с новой стороны.

С методической точки зрения бывает очень эффективным прием, когда учитель подводит учеников к самостоятельному, пусть маленькому, открытию. В данном случае желательно, чтобы ученики сами подошли к формулировке различия между позиционным и непозиционным принципом записи чисел. Сделать это можно, отталкиваясь от конкретного примера. Напишите на доске два числа: XXX 333

Первое - римское тридцать, второе - арабское триста тридцать три. И задайте вопрос: «Чем отличается принцип записи многозначных чисел римскими и арабскими цифрами?» Скорее всего, вы сразу не услышите тот ответ, который бы хотели получить. Тогда, указывая на отдельные цифры римского числа, спрашивайте: «Что (какое количество) обозначает эта цифра?» Получите ответ: «Десять!» - «А эта цифра?» - «Десять!» - «А эта?» - «Десять» - «Как получается значение данного трехзначного числа?» - «Десять прибавить десять, прибавить десять, получается тридцать!» А теперь переходим к числу 333. Снова задаем вопросы: «Какое количество в записи числа обозначает первая цифра справа?» - «Три единицы!» - «А вторая цифра?» - «Три десятка!» - «А третья цифра?» - «Три сотни!» - «А как получается общее значение числа?» - «К трем единицам прибавить три десятка и прибавить три сотни получится триста тридцать три!»

Из этого диалога следуют все правила, которые учитель должен сообщить ученикам. В римском способе записи чисел значение, которое несет каждая цифра в числе, не зависит от позиции этой цифры. В арабском же способе значение, которое несет каждая цифра в записи числа, зависит не только от того, какая это Цифра, но и от позиции, которую она занимает в числе. Сделав ударение на слове «позиция», учитель сообщает, что римский способ записи чисел называется непозиционным, а арабский - позиционным. После этого можно ввести термин «система счисления».

Система счисления - это определенный способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами.

Римский способ записи чисел является примером непозиционной системы счисления, а арабский - это позиционная система счисления.

Следует подчеркнуть связь между способом записи чисел и приемами арифметических вычислений в соответствующей системе счисления. Предложите ученикам выполнить умножение, например, числа сто тридцать четыре на семьдесят шесть, используя римскую и арабскую системы счислений! С арабскими числами они легко справятся, а также смогут убедиться, что римские цифры - не помощники в вычислениях. В римской системе нет простых и понятных правил выполнения вычислений с многозначными числами. Для арабской системы такие правила известны еще с IX в. В этой теме полезно рассказать ученикам, что правила выполнения вычислений с многозначными числами были разработаны выдающимся математиком средневекового Востока Мухамедом Аль-Хорезми и в Европе были названы алгоритмами (от латинского написания имени аль-Хорезми - Algorithm!). Этот факт следует напомнить позже, при изучении алгоритмизации. Итак, именно позиционные системы счисления стали основой современной математики. Далее, как и в математике, в информатике мы будем иметь дело только с числами в позиционных системах счисления.

Теперь нужно дать понять ученикам, что позиционных систем счисления существует множество, и отличаются они друг от друга алфавитом - множеством используемых цифр. Размер алфавита (число цифр) называется основанием системысчисления. Задайте вопрос: «Почему арабская система называется десятичной системой счисления?» Наверняка услышите в ответ про десять цифр в алфавите. Делаем вывод: основание арабскойсистемы счисления равно десяти, поэтому она называется десятичной.

Следует показать алфавиты различных позиционных систем счисления. Системы с основанием не больше 10 используют только арабские цифры. Если же основание больше 10, то в роли цифр выступают латинские буквы в алфавитном порядке. Из таких систем в дальнейшем будет рассматриваться лишь шестнадцатеричная система.

Далее нужно научить учеников записывать натуральный ряд чисел в различных позиционных системах.

Для указания на основание системы, к которой относится число, вводим индексное обозначение. Например, 36₈ указывает на то, что это число в восьмеричной системе счисления, 1А6₁₆ - шестнадцатеричное число, 1011₂ - число в двоичной системе. Индекс всегда записывается десятичным числом. Следует подчеркнуть то, что в любой системе счисления ее основание записывается как 10.

Еще одно важное замечание: ни в коем случае нельзя называть недесятичные числа так же, как десятичные. Например, нельзя называть восьмеричное число 36₈ как тридцать шесть! Надо говорить: «Три -шесть». Или, нельзя читать 101₂ как «сто один». Надо говорить «один -ноль - один». Следует также понимать, что, например, 0,1₂ - это не одна десятая, а одна вторая, или 0,1₈ - это одна восьмая и т. п.

Сущность позиционного представления чисел отражается в развернутой форме записи чисел. Снова для объяснения привлекаем Десятичную систему.

Последнее выражение и называется развернутой формой записичисла. Слагаемые в этом выражении являются произведениями значащих цифр числа на степени десятки (основания системы счисления), зависящие от позиции цифры в числе - разряда. Цифры в целой части умножаются на положительные степени 10, А цифры в дробной части - на отрицательные степени. Показатель степени является номером соответствующего разряда. Аналогично можно получить развернутую форму чисел в других системах счисления.

Следующий вопрос, изучаемый в этом разделе, - способы перевода чисел из одной системы в другую. Основная идея заключается в следующем: перевод чисел неизбежно связан с выполнением вычислений. Поскольку нам хорошо знакома лишь десятичная арифметика, то любой перевод следует свести к выполнению вычислений над десятичными числами.

Объяснение способов перевода следует начать с перевода десятичных чисел в другие системы счисления. Делается это просто: нужно перейти к записи развернутой формы числа в десятичной системе.

Нетрудно понять, что если раскрыть скобки, то получится то же самое выражение. В чем же удобство скобочной структуры? А в том, что ее вычисление производится путем выполнения последовательной цепочки операций умножения и сложения в порядке их записи слева направо. Для этого можно использовать самый простой калькулятор (без памяти), поскольку не требуется сохранять промежуточные результаты. Схема Горнера сводит вычисление таких выражений к минимальному числу операций.

Перевод десятичных чисел в другие системы счисления - задача более сложная. В принципе, все происходит через ту же самую развернутую форму записи числа. Только теперь нужно суметь десятичное число разложить в сумму по степеням нового основания п * 10.

Однако проделать это в уме довольно сложно. Здесь следует показать формальную процедуру (алгоритм) такого перевода. Описание алгоритма можно прочитать в учебнике или пособии. Там же дается математическое обоснование алгоритма. Разбор этого обоснования требует от учеников определенного уровня математической грамотности и возможен в варианте углубленного изучения базового курса.

В рамках минимального объема базового курса не обязательно изучать приемы перевода дробных десятичных чисел в другие системы счисления. При знакомстве с этим вопросом в углубленном курсе нужно обратить внимание на следующее обстоятельство: десятичные дроби с конечным числом цифр при переводе в другие системы могут превратиться в бесконечные дроби. Если удается найти период, тогда его следует выделить. Если же период не обнаруживается, то нужно договориться о точности (т.е. о количестве цифр), с которой производится перевод.

Если ставится цель получения при переводе дробного числа наиболее близкого значения, то, ограничивая число знаков, нужно производить округления. Для этого в процессе перевода следует вычислять на одну цифру больше, а затем, применяя правила округления, сокращать эту цифру. Выполняя округление, нужно соблюдать следующее правило: если первая отбрасываемая цифра больше или равна я/2 (п - основание системы), то к сохраняемому младшему разряду числа прибавляется единица. Например, округление восьмеричного числа 32,32471₈ до одного знака после запятой даст в результате 32,3; а округление до двух знаков после запятой - 32,33.

Математическая суть отмеченной выше проблемы связана со следующим фактом: многие дробные рациональные десятичные числа в других системах счисления оказываются иррациональными.

Применение двоичной системы счисления в ЭВМ может рассматриваться в двух аспектах: 1) двоичная нумерация; 2) двоичная арифметика, т. е. выполнение арифметических вычислений над Двоичными числами. С двоичной нумерацией ученики встретятся в теме «Представление текста в компьютерной памяти». Рассказывая о таблице кодировки ASCII, учитель должен сообщить ученикам, что внутренний двоичный код символа - это его порядковый номер в двоичной системе счисления.

Практическая потребность знакомства с двоичной арифметикой возникает при изучении работы процессора В этой теме рассказывается, как процессор ЭВМ выполняет арифметические вычисления. Согласно принципу Дж.Фон Неймана, компьютер производит вычисления в двоичной системе счисления. В рамках базового курса достаточно ограничиться рассмотрением вычислений с целыми двоичными числами.

Представление информации, хранящейся в компьютерной памяти в ее истинном двоичном виде весьма громоздко из-за большого количества цифр. Имеется в виду запись такой информации на бумаге или вывод ее на экран. Для этих целей принято использовать восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления. В современных ПК чаще всего используется шестнадцатеричная система.

В шестнадцатеричном виде записываются адреса оперативной памяти компьютера. Например, для учебного компьютера «Нейман» диапазон адресации байтов памяти от 00 до FF. Значит, в десятичной системе - от 0 до 255. Рассматривая структуру памяти компьютера, принципы адресации байтов памяти, можно обсудить с учениками следующий вопрос: как связан диапазон адресов с разрядностью адреса. В учебном компьютере «Нейман» адреса памяти представляются 8-разрядными двоичными числами (2-разрядными шестнадцатеричными). Поэтому число различных адресов равно 2⁸, а диапазон значений - от 0 до 2⁸ - 1 = 255 (FF₁₆). Если адрес 16-разрядный, что часто имеет место для реальных ЭВМ то размер адресуемой памяти равен 2¹⁶ байт = 2⁶ Кбайт = 64 Кбайт. Диапазон шестнадцатеричных адресов в таком случае: от 0000 до FFFF.

В современных компьютерах существуют приемы, позволяющие адресовать гораздо большие размеры памяти без увеличения разрядности адреса. Для этого используется многоуровневая структура организации памяти. Данный вопрос выходит за рамки содержания базового курса. Однако тема «Адресация памяти в современных ЭВМ» может быть предметом реферативной работы учащихся. Материал можно найти в специальной литературе, посвященной архитектуре современных ЭВМ.