Числовая последовательность.
Предел последовательности. Предел функции. Под числовой последовательностью x 1 , x 2 , x 3 , …, xn , … понимается функция , заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последовательность обозначается в виде {х n} или х n , n Î N. Число x 1 называется первым членом (элементом) последовательности, x 2 – вторым,..., х n – общим или n -м членом последовательности. Чаще всего последовательность задается формулой ее общего члена. Формула (1) позволяет вычислить любой член последовательности по номеру n, по ней можно сразу вычислить любой член последовательности. Так, равенства , , , , n Î N задают соответственно последовательности ; ; ; . Последовательность {х n} называется ограниченной, если существует такое число М > 0, что для любого n Î Nвыполняется неравенство
В противном случае последовательность называется неограниченной. Легко видеть, что последовательности у n и u n ограничены, а ν n и zn – неограничены. Последовательность {х n} называется возрастающей (неубывающей), если для любого n выполняется неравенство х n +1 > х n (х n +1 ≥ х n). Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность. Все эти последовательности называются монотонными последовательностями. Последовательности ν n , у n и u n монотонные, а zn – не монотонная. Если все элементы последовательности {х n} равны одному и тому же числу с, то ее называют постоянной. Другой способ задания числовых последовательностей – рекуррентный способ. В нем задается начальный элемент х1 (первый член последовательности) и правило определения n -го элемента по ( n – 1)-му: х n = f (х n -1 ). Таким образом, х2 = f (х1), х3 = f (х2) и т.д. При таком способе задания последовательности для определения 100-го члена надо сначала посчитать все 99 предыдущих. Предел числовой последовательности. Можно заметить, что члены последовательности u n неограниченно приближаются к числу 1. В этом случае говорят, что последовательность u n, n Î Nстремится к пределу 1. Число а называется пределом последовательности {х n}, если для любого положительного числа e найдется такое натуральное число N, что при всех n > N выполняется неравенство |xn - a| < e В этом случае пишут или х n → а при n → и говорят, что последовательность {х n} (или переменная х n, пробегающая последовательность х1, х2, х3, …) имеет предел, равный числу а (или х n стремится к а). Говорят также, что последовательность {х n} сходится к а. Коротко определение предела можно записать так: ( " e > 0 $ N : " n > N Þ |xn - a| < e ) Û . Геометрический смысл определения предела последовательности: Неравенство (2) равносильно неравенствам – ε < х n – а < ε или а – ε < х n < а + ε, которые показывают, что элемент х n находится в ε-окрестности точки а. Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число а называется пределом последовательности {х n}, если для любой ε-окрестности точки а найдется натуральное число N, что все значения х n, для которых n > N, попадут в ε-окрестность точки а (см. рис. 1). Ясно, что чем меньше ε, тем больше число N, но в любом случае внутри ε-окрестности точки а находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее может быть лишь конечное их число. Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Таковой является, например, последовательность ν n (см. выше). Постоянная последовательность х n = с, n Î N имеет предел, равный числу с, т.е. . Предел монотонной ограниченной последовательности. Не всякая последовательность имеет предел. Признак существования предела последовательности: Теорема 3 (Вейерштрасс). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (234)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |