Предел функции в точке.
Пусть функция у = f (х) определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0. Определение (на «языке последовательностей», или по Гейне). Число А называется пределом функции у = f(х) в точке х0 (или при х → х0), если для любой последовательности допустимых значений аргумента хn, n Î N (хn ≠ х0), сходящейся к х0 (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции f(хn), n Î N, сходится к числу А (т.е. ). В этом случае пишут или f(х) → А при х → х0. Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х0, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А. Односторонние пределы. В определении предела функции считается, что х стремится к х0 любым способом: оставаясь меньшим, чем x 0 (слева от х0), большим, чем х0 (справа от х0), или колеблясь около точки x 0. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х0 существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов. Число А1 называется пределом функции у = f(х) слева в точке х0, если для любого числа ε > 0 существует число δ = δ ( ε ) > 0 такое, что при х Î (x 0 – δ ; x 0), выполняется неравенство . Предел слева записывают так: или коротко: f(х0 – 0) = А1 (обозначение Дирихле) Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов: Коротко предел справа обозначают f(х0 + 0) = A 2. Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем А = А1 = А2. Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела f(х0 – 0) и f(х0 + 0) и они равны, то существует предел А = и А = f(х0 –0) = f(х0 + 0). Если же А1 ≠ А2, то не существует. Предел функции при x → ¥ . Пусть функция у = f(х) определена в промежутке (– ¥ ; ¥ ). Число А называется пределом функции f(х) при х → ¥, если для любого положительного числа ε существует такое число М = М( ε ) > 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х| > М выполняется неравенство | f(х) – А| < ε. Записывают или f(х) → А при х → ¥. Коротко это определение можно записать так: Если x → + ¥, то пишут если x → – ¥ , то пишут . Геометрический смысл этого определения таков: для что при х Î (– ¥ ; –М) или х Î ( M ; + ¥ ) соответствующие значения функции f(х) попадают в ε-окрестность точки А, т.е. точки графика лежат в полосе шириной 2 ε, ограниченной прямыми у = А + ε и у = А - ε (см. рис. 4). Бесконечна большая функция (б.б.ф.) Функция у = f(х) называется бесконечно большой при х → х0, если для любого числа М > 0 существует число δ = δ(М) > 0, что для всех х ≠ х0, удовлетворяющих неравенству |х – х0| < δ, выполняется неравенство | f( x )| > M. Записывают или f(х) → ¥ при х → х0. Коротко: Например, функция у = есть б.б.ф. при х → 2. Если f( x ) стремится к бесконечности при х → х0 и принимает лишь положительные значения, то пишут ; если лишь отрицательные значения, то . Функция у = f(х), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при х → ¥, если для любого числа М > 0 найдется такое число N = N(М) > 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х| > N, выполняется неравенство | f(х) | > M. Коротко: Например, у = 2х есть б.б.ф. при х → ¥ . Всякая б.б.ф, в окрестности точки х0 является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может и не быть б.б.ф. (Например, у = хsin х.) Однако, если где А – конечное число, то функция f(х) ограничена в окрестности точки x 0.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (247)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |