Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией.
Теорема 5. Если функция f(х) имеем предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции a (х), т.е. если , то f(х) = А + a (х). Теорема 6 (обратная). Если функцию f(х) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции a (х), то число А является Пример. Доказать, что . ° Решение: Функцию (5 + х) можно представить в виде суммы числа 7 и б.м.ф. (х – 2) (при х → 2), т.е. выполнено равенство 5 + х = 7 + (х – 2). Следовательно, по теореме 6 получаем . · Основные теоремы о пределах. Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда х → х0 и х → ∞, аналогичны. В приводимых теоремах будем считать, что пределы , существуют. Теорема 7. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов Теорема справедлива для алгебраический суммы любого конечного числа функций. Следствие 3. Функция может иметь только один предел при х → х0. Теорема 8. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов: Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций. Следствие 4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: . Следствие 5. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: . В частности, . Теорема 9. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю . Пример . Вычислить . ° Решение: . · Признаки существования пределов. Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция у = sin х при х → ∞ предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела. Теорема 10 (о пределе промежуточной функции). Если функция f (х) заключена между двумя функциями φ(х) и g (х), стремящихся к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е. если , , то . Теорема 11 (о пределе монотонной функции). Если функция f (х) монотонна и ограничена при х < х0 или при х > х0, то существует ее левый предел или ее правый предел . Замечательные пределы. Первый замечательный предел. При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел , называемый первым замечательным пределом. Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю. Пример . Найти . ° Решение: . · Второй замечательный предел. . Если в равенстве положить (a → 0 при х → ∞), оно запишется в виде . Эти равенства называются вторым замечательным пределом. Они широко используются при вычислении пределов. Пример Найти . ° Решение: Обозначим х = 2 t, очевидно, t → ∞ при х → ∞. Имеем . ·
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (361)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |