Дивергенция и ротор векторного поля
12 Введение
Для описания физических величин удобно использовать понятие поля. Простейшими физическими величинами являются скаляр и вектор. Их обобщением является тензор. Полное определение тензора мы дадим в курсе тензорного анализа, а сейчас под тензором будем понимать физическую величину, которая может быть задана в виде числа (скаляра), вектора, матрицы или более сложного образования. Определение 1. В пространстве (среде) задано поле тензора , если этот тензор определен в каждой точке пространства
.
В качестве можно выбрать скаляр, вектор или тензор более высокого ранга. Рассмотрим основные свойства поля и его характеристики.
Скалярное поле
Определение 1. Поле называется скалярным, если в каждой точке пространства определено значение скалярной величины . Поле может зависеть также и от времени
.
Здесь t играет роль параметра. Примеры скалярных полей: температура в каждой точке сплошной среды, плотность вещества или электрического заряда (как функция координат точек среды), электрический потенциал,… Определение 2. Поверхностью уровня скалярного поля называется совокупность точек удовлетворяющих уравнению
,
где С - некоторая постоянная. На плоскости уравнение
определяет линии уровня. Выберем в пространстве некоторое направление l, которое задается единичным вектором (ортом) . Рассмотрим две точки М и , лежащие на этой линии
Определение 3. Производной от функции по направлению l называется предел
.
Эта величина характеризует быстроту изменения функции в направлении . Имеем
, , , , .
Если направление задается вектором , то .
Аналогично, для
и для
.
Определение 4. Градиентом скалярной функции называется вектор
.
В математике часто используется символ (читается «набла»)
,
который называют оператором дифференцирования или оператором Гамильтона. С помощью этого оператора градиент функции может быть записан в виде .
Теорема 1. Производная скалярного поля в точке М в направлении орта равна проекции градиента поля на направление орта . Доказательство. Производную по направлению, определяемому ортом , можно записать в виде скалярного произведения
С другой стороны
где φ - угол между векторами е и .
Максимальное значение достигается при , когда . Следовательно, градиент функции указывает направление максимального возрастания этой функции.
Векторное поле
Определение 1. Поле называется векторным, если в каждой точке пространства определено значение векторной величины . Примеры векторных полей: напряженность электрического поля, поле скоростей в движущейся среде, напряженность магнитного поля,… Определение 2. Векторными линиями поля называются кривые, касательные в каждой точке которых совпадают с направлениями вектора в этой точке. На рисунке показано поле скоростей движущейся жидкости.
В электростатике векторные линии называют силовыми линиями или линиями напряженности электрического поля. Теорема 1. Если задано векторное поле , то векторные линии этого поля описываются системой дифференциальных уравнений .
Доказательство. На рисунке в точке М показаны элемент длины векторной линии и вектор поля .
Запишем условие параллельности двух векторов:
.
Если векторное поле определяет скорость движения среды , то векторные линии называются линиями тока. Пример 1. Найти векторную линию векторного поля , проходящую через точку . Решение. Имеем систему дифференциальных уравнений
с начальными условиями . Проинтегрируем систему:
, .
Используем начальные условия:
; .
Ответ: . Пример 2. Найти линии тока плоского потока жидкости, характеризуемого вектором скорости .
Ответ: .
Дивергенция и ротор векторного поля
Важнейшими характеристиками векторного поля являются ротор и дивергенция. В этом параграфе мы рассмотрим математическое описание этих характеристик векторных поле и методы их вычисления с помощью дифференциальных операций. При этом мы будем использовать только декартову систему координат. Более полное определение дивергенции и ротора и их физический смысл рассмотрим в следующей главе. Вычисление этих величин в криволинейных системах координат рассмотрим позже. Рассмотрим векторное поле , заданное в трехмерном пространстве. Определение 1. Дивергенцией векторного поля называется число, которое определяется выражением
.
При этом предполагается, что соответствующие частные производные существуют в рассматриваемой точке. Дивергенцию векторного поля, так же, как и градиент, можно записать, используя оператор набла
.
Здесь дивергенция представлена как скалярное произведение векторов и F. Отметим без доказательства, что дивергенция описывает плотность источников, создающих поле . Пример 1. Вычислить дивергенцию векторного поля в точке . Ответ:
.
Определение 2. Ротором векторного поля называется вектор, который определяется выражением .
Отметим, что в представленной сумме индексы в соседних слагаемых изменяются согласно правилу круговой перестановки с учетом правила .
Ротор векторного поля можно записать с помощью оператора набла
.
Ротор характеризует тенденцию к вращению или завихрению векторного поля , поэтому иногда его называют вихрем и обозначают curlF. Пример 1. Вычислить ротор векторного поля в точке . Ответ: ,
. Иногда возникает необходимость вычисления градиента векторного поля . В этом случае вычисляется градиент от каждой компоненты векторного поля. В результате получается тензор второго ранга, которым и определяется градиент вектора. Этот тензор можно описать матрицей
.
Для описания таких объектов удобно использовать тензорные обозначения
,
полагая . Использование тензорных методов упрощает математические операции над такими объектами. Детальное изложение аппарата тензорного исчисления дается в курсе «Основы тензорного анализа», который читается параллельно курсу «Дополнительные главы высшей математики». Пример 1. Вычислить градиент векторного поля . Решение. Для вычислений используем тензорные обозначения. Имеем
.
Здесь символ Кронекера, - единичная матрица. Ответ: . Пример 2. Вычислить градиент скалярного поля и сравнить выражения и .
12
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (552)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |