Адиабатный процесс. Уравнение Пуассона.

12. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона для адиабатического процесса. Показатель адиабаты.

Адиабатический, процесс — термодинамический процесс в макроскопической системе, при котором система не обменивается теплотой с окружающим пространством. Адиабатические процессы обратимы только тогда, когда в каждый момент времени система остаётся равновесной (например, изменение состояния происходит достаточно медленно) и изменения энтропии не происходит.

Обратимый адиабатический процесс для идеального газа описывается уравнением Пуассона.Линия, изображающая адиабатный процесс на термодинамической диаграмме, называется адиабатой Пуассона. Примером необратимого адиабатического процесса может быть распространение ударной волны в газе. Такой процесс описывается ударной адиабатой.

Если термодинамический процесс в общем случае являет собой три процесса — теплообмен, совершение системой (или над системой) работы и изменение её внутренней энергии, то адиабатический процесс в силу отсутствия теплообмена ( ) системы со средой сводится только к последним двум процессам. Поэтому,первое начало термодинамики в этом случае приобретает вид

где — изменениевнутренней энергии тела, —работа, совершаемая системой.

Изменения энтропии S системы в обратимом адиабатическом процессе вследствие передачи тепла через границы системы не происходит:

Здесь — температура системы, — теплота, полученная системой. Благодаря этому адиабатический процесс может быть составной частью обратимого цикла.

Адиабата Пуассона

Для идеальных газов, чью теплоёмкость можно считать постоянной, в случае квазистатического процесса адиабата имеет простейший вид и определяется уравнением

где — егообъём, —показатель адиабаты, и —теплоёмкости газа соответственно при постоянном давлении и постоянном объёме.

График адиабаты (жирная линия) на диаграмме для газа. — давление газа; — объём.

С учётом уравнения состояния идеального газа уравнение адиабаты может быть преобразовано к виду

где —абсолютная температура газа. Или к виду

Поскольку всегда больше 1, из последнего уравнения следует, что при адиабатическом сжатии (то есть при уменьшении ) газ нагревается ( возрастает), а при расширении — охлаждается, что всегда верно и для реальных газов. Нагревание при сжатии больше для того газа, у которого больше коэффициент .

При адиабатическом процессе показатель адиабаты равен .

Для нерелятивистского невырожденного одноатомного идеального газа , для двухатомного , для трёхатомного , для газов, состоящих из более сложных молекул, показатель адиабаты определяется числомстепеней свободы (i) конкретной молекулы, исходя из соотношения .

Для реальных газов показатель адиабаты отличается от показателя адиабаты для идеальных газов, особенно для низких температур, когда большую роль начинает играть межмолекулярное взаимодействие. Один из методов для экспериментального определения показателя был предложен в 1819 г. Клеманом и Дезормом. Стеклянный баллон вместимостью несколько литров наполняется исследуемым газом при давлении Затем открывается кран, газ адиабатически расширяется, и давление падает до атмосферного — . Затем происходит егоизохорное нагревание до температуры окружающей среды. Давление повышается до . В результате такого эксперимента k можно вычислить как

Уравне́ние Пуассо́на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает

· электростатическое поле,

· стационарное поле температуры,

· поле давления,

· поле потенциала скорости в гидродинамике.

Оно названо в честь французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид:

{\displaystyle \Delta \varphi =f,}

где {\displaystyle \Delta } — оператор Лапласа, или лапласиан, а {\displaystyle f} — вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

{\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме {\displaystyle \nabla ^{2}} и уравнение Пуассона принимает вид:

{\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =f.}

Если {\displaystyle f} стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа — частный случай уравнения Пуассона):

{\displaystyle \Delta \varphi =0.}

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».