Неинерциальные системы отсчета, движущиеся поступательно

Силы инерции. На горизонтальном прямолинейном участке железнодорожного пути находится железнодорожный вагон. На полу вагона лежит неподвижный шар (рис.1.1), могущий перемещаться на полу без трения. Выберем две системы отсчета: одну систему (К) свяжем с поверхностью земли, а другую (К') - со стенками вагона. Систему отсчета, связанную с землей, можно с известным приближением считать инерциальной. Система же, связанная с вагоном, будет инерциальной только тогда, когда вагон покоится или движется равномерно и прямолинейно. Рассмотрим "поведение" шара относительно систем К и К'.

Вагон покоится. В этом случае шар неподвижен в обеих системах отсчета. Наблюдатели, находящиеся в системах К и К', объяснят покой шара одинаковым образом в соответствии с первым законом Ньютона: шар находится в покое, так как сумма действующих на него сил (сила тяжести и сила реакции пола) равна нулю.

Вагон движется с ускорением а. В этом случае наблюдатели, находящиеся в системах отсчета К и К' воспримут движение шара по-разному. Наблюдатель в системе К отметит, что шар в полном согласии с законами Ньютона покоится, так как между шаром и полом вагона трения нет; нет и причин для изменения состояния покоя шара. Изменение относительного расстояния между шаром и стенкой вагона наблюдатель в системе К объяснит тем, что вагон уходит, а шар остается на месте. Этому наблюдателю будет понятно и то, что если вагон движется с ускорением а, то движение шара относительно стен вагона (в системе К') будет происходить с тем же ускорением, но направленным в противоположную сторону. Это ускорение, естественно, будет одинаково для всех тел независимо от их массы. Наблюдатель, находящийся в системе К' (в вагоне), отметит, что в этой системе шар движется с ускорением а'. Если он измерит это ускорение, то обнаружит, что оно по модулю равно ускорению вагона а (об ускорении вагона ему может сообщить, например, по радио наблюдатель с земли). Заменяя шар другими телами, также способными перемещаться по полу без трения, наблюдатель в системе К' придет к выводу (который был очевиден и наблюдателю в системе К), что ускорение тел не зависит от их массы; оно одинаково для всех тел и равно ускорению, с которыми движется система отсчета К', взятому с обратным знаком:

где а' - ускорение, измеренное в системе К'; а - ускорение самой системы К' относительно инерциальной системы К. (Это справедливо только для рассматриваемого случая, когда сумма ньютоновских сил равна нулю.) Исходя из законов Ньютона, наблюдатель в системе К' скажет, что на шар массой m действует сила, равная mа', и начнет искать тело, которое своим действием создает эту силу. Однако такого тела он, естественно, не найдет. Тогда наблюдатель в системе К' придет к заключению, что в этой системе отсчета не выполняются законы Ньютона: не выполняется закон инерции, ибо шар не сохраняет состояния покоя или равномерного прямолинейного движения, хотя никакие тела на него не действуют; шар имеет ускорение, которое не вызвано силой в ньютоновском понимании. Таким образом, наблюдатель в системе отсчета К' отнесет эту систему к классу неинерциальных. Из разобранного примера видно, что, находясь внутри системы отсчета и наблюдая за поведением свободных тел (тел, для которых сумма действующих на них ньютоновских сил равна нулю), можно установить, к какому классу относится данная система отсчета: к классу инерциальных или к классу неинерциальных систем. Более того, измеряя ускорение свободного тела, можно даже установить, с каким ускорением и в какую сторону движется данная система отсчета относительно некоторой (заданной) инерциальной системы. Напомним, что никакими опытами, проведенными внутри инерциальной системы, нельзя установить, движется или покоится эта система.

Силы инерции. Было бы неудобно создавать для неинерциальных систем отсчета другую механику, отличную от ньютоновской. Поэтому вполне логично поставить такой вопрос: нельзя ли внести такие дополнения или изменения в механику Ньютона, чтобы сделать выполнимыми основные законы динамики и в неинерциальных системах? Оказывается, это сделать можно. Нужно только расширить понятие силы: считать, что в неинерциальных системах отсчета, кроме обычных (ньютоновских) сил, на все тела действуют еще такие, не совсем обычные силы, которые не вызваны взаимодействием тел друг с другом, а являются результатом ускоренного движения самой системы отсчета. Эти силы, получившие название сил инерции, способны оказывать на тела динамическое и статическое действие, подобно обычным ньютоновским силам. Учитывая это, наблюдатель, находящийся в системе отсчета К' (рис.1.1), объяснит ускоренное движение шара как результат действия на шар силы инерции. В данном примере сумма ньютоновских сил (сила тяжести и сила реакции пола) равна нулю. Поэтому наблюдатель в системе К' запишет для шара второй закон Ньютона в обычной форме:

 (1.1)

Пользуясь этим уравнением, наблюдатель, зная силу F_ин и начальные условия, сможет установить закон движения шара. Остается выяснить, как подсчитывается сила инерции. Если сумма ньютоновских сил равна нулю, шар в системе К' движется с ускорением а', которое равно по модулю и противоположно по направлению ускорению самой системы К' относительно инерциальной системы К:

Умножим обе части этого равенства на массу шара m. Сравнивая полученное выражение с выражением (1.1), найдем, что

 (1.2)

Таким образом, получается следующее правило: в ускоренно движущейся системе отсчета на все тела действует сила инерции, равная произведению массы тела на ускорение системы отсчета, взятому с противоположным направлением. Если система отсчета движется с постоянным ускорением, то сила инерции постоянна. Если же система движется с изменяющимся ускорением, то и сила инерции непостоянна; ее мгновенное значение определяется соотношением (1.2). Обратим внимание на одну важную особенность силы инерции: эта сила пропорциональна массе тела, на которое она действует. Это роднит силу инерции с силой тяжести. Как и сила тяжести, сила инерции относится к категории массовых сил, оказывающих свое действие на каждый элемент тела.

Свойства сил инерции. Хотя силы инерции и не вызваны действием тел друг на друга, они для наблюдателя, находящегося в ускоренно движущейся системе отсчета, вполне реальны. В их реальности любой может убедиться на собственном опыте каждый раз, когда, будучи пассажиром какого-либо транспорта, испытывает ее действие в момент резкого торможения или рывка вперед. В эти моменты все ощущают силу, которая заставляет наклониться вперед или назад. Ощущение этой силы напоминает ощущение веса. И это происходит потому, что силы инерции, как и вес, - массовые силы; они действуют на все элементы нашего тела. Для наблюдателя, находящегося на земле, т.е. в инерциальной системе отсчета, сил инерции не существует. Отклонение тел при торможении или рывке вперед он объясняет в соответствии с первым законом Ньютона - стремлением тел сохранять свое состояние движения или покоя. Можно поставить в движущейся с ускорением системе отсчета К' и другие опыты, которые покажут реальность сил инерции, не связывая это с личным ощущением наблюдателя. Обратимся вновь к ускоренно движущемуся вагону. Если наблюдатель, находящийся в вагоне (системе К'), присоединит шар А к легкой ("невесомой") пружине, скрепленной с передней стенкой вагона, а шар В подвесит к потолку на тонкой ("невесомой") нити (рис.1.2), то он отметит, что оба шара через некоторое время после начала ускоренного движения будут неподвижны.

При этом пружина окажется растянутой на некоторую величину (Δx'), а нить - отклоненной от вертикали на некоторый угол α. Но пружина может растянуться, а подвешенное тело может отклониться от вертикали только в том случае, если на шары действуют реальные силы. Этими силами в ускоренно движущемся вагоне являются силы инерции. Видно, что силы инерции, как и обычные ньютоновские силы, могут вызывать деформацию тел, отклонение подвешенных тел от вертикали. Они "делают" все то, что "делают" обычные силы. Наблюдатель в системе "земля" объяснит растяжение пружины тем, что шар в его системе движется с ускорением а, а для этого нужна сила. Этой силой является сила упругости растянутой пружины. Отклонение шара В от вертикали он объяснит тем, что для ускоренного движения тела В нужна сила, которая появится как результирующая силы натяжения нити и силы тяжести, действующей на шар.

Законы сохранения. Известно, что в ньютоновской механике закон сохранения импульса системы материальных точек справедлив для замкнутых систем. Выполняется ли указанный закон в неинерциальных системах отсчета? Чтобы получить замкнутую систему тел, надо было бы включить в эту систему и то тело, которое порождает силу инерции. Но такого тела нет. Поэтому ни одна система тел в ускоренно движущейся системе отсчета не может быть замкнутой. Отсюда следует неприменимость закона сохранения импульса в неинерциальной системе отсчета.

Поле сил инерции. Силы инерции, действующие в неинерциальной системе отсчета, образуют силовое поле. Очевидно, для систем, движущихся поступательно, поле сил инерции будет однородным. Такое поле образуется, например, в системе отсчета, связанной с ускоренно движущимся вагоном. Поле сил инерции будет во всех точках пространства и вне вагона, если это пространство рассматривать в системе К'.

Однако в движущемся вагоне, кроме поля сил инерции, существует также поле сил тяжести, которое можно считать однородным ввиду незначительных размеров вагона по сравнению с Землей. На рисунке (1.3) оба поля показаны пунктирными стрелками. В соответствии с принципом суперпозиции оба поля накладываются одно на другое и образуют новое, результирующее поле, которое действует на точку массой m с силой

 (1.3)

На рис. (1.3) результирующее поле показано сплошными стрелками. Наблюдатель, находящийся в вагоне, воспримет результирующее поле как измененное поле тяготения.

Вращающиеся системы отсчета. Связывая систему отсчета с вращающимся телом, получим вращающуюся систему отсчета. Поскольку вращающиеся системы суть системы, движущиеся относительно инерциальной с некоторым (радиальным) ускорением, то в них должны также действовать силы инерции.

Нахождение сил инерции в общем случае представляет собой сложную задачу. Поэтому ограничимся только частным случаем, когда система вращается относительно неподвижной (инерциальной системы) с постоянной угловой скоростью. В отличие от случая поступательного движения системы, рассмотренного выше, во вращающейся системе отсчета проявляются два рода сил инерции: центробежные силы, определяемые только положением тела в системе отсчета и не зависящие от скорости тела в этой системе, и кориолисовы силы, которые, наоборот, зависят от скорости движения тела, но не зависят от его положения в системе отсчета. На покоящееся во вращающейся системе отсчета тело действует только центробежная сила, на движущееся тело - и центробежная и кориолисова. С действием этих сил можно ознакомиться на примере аттракциона "карусель". Кому приходилось кататься на карусели, хорошо помнят действие силы, стремящейся выбросить человека наружу. По личному ощущению покоящийся на карусели наблюдатель может заметить, что эта сила направлена по радиусу к периферии, а модуль ее тем больше, чем дальше

наблюдатель находится от оси вращения. Кому приходилось ходить по полу вращающейся карусели, знает, как трудно удержаться в равновесии. Эта трудность возникает из-за того, что на движущегося человека, кроме центробежной силы, направленной по радиусу, действует еще одна сила - сила кориолиса, которая, будучи перпендикулярна направлению движения человека, "валит" его на бок и, чтобы не упасть, он должен идти, "переплетая" ноги. Но разберем подробнее обе эти силы.