Земля как неинерциальная (вращающаяся) система отсчета

 

Относительно инерциальной системы отсчета Земля совершает суточное вращение около оси с угловой скоростью

 

 

По этой причине связанная с Землей система отсчета будет неинерциальной. В этой системе приобретают вполне реальное значение центробежные и кориолисовы силы инерции.

Проявление центробежных сил. Центробежные силы оказывают влияние на силу тяжести, ускорение свободного падения и вес тел. Кроме того, действие их оказывает влияние также и на форму самой Земли. Тело массой m на поверхности Земли испытывает действие двух массовых сил: силы тяготения

 

 

и центробежной силы

 

 

где r - расстояние тела от оси вращения.

На рисунке 1.8 показаны обе силы на широте φ. Равнодействующая этих сил, называемая силой тяжести, равна

 

 (1.6)

 

Если тело свободно, оно получит ускорение g_φ и

 

 

 

Поэтому

 

 

Следовательно, наблюдаемое ускорение свободного падения на широте φ равно:

 

 (1.7)

 

Таким образом, ускорение свободного падения (рис.1.9) не направлено к центру Земли и не равно тому ускорению g₀, которое имело бы тело, если бы Земля не вращалась.

 

 

Наибольшее различие между g_φ и g₀ имеется на экваторе:

 

 

Оно составляет приблизительно ¹/₃₀₀ от наблюдаемого ускорения на средних широтах (9,81 м/с²).

Из расчета видно, что вектор а_ц.б. на рисунке 1.9 сильно преувеличен и что направление g_φ очень мало отличается от направления вектора g_{0. Е}сли пренебречь этим отклонением, то можно вычислить величину g_φ.

Проецируя а_ц.б. на продолжение радиуса и вычитая эту проекцию из g₀, получим:

 

Так как

то

 (1.8)

Вес тела на поверхности Земли. По определению весом называют силу, с которой тело действует на подвес или опору, удерживающие тело от падения. Вес, следовательно, есть сила упругости, ибо взаимодействие тела с опорой осуществляется через силы упругости. Однако вес тела можно выразить через силу тяготения и центробежную силу. На покоящееся тело действует сила

 

 

С такой же силой покоящееся тело действует на удерживающую его опору. Поэтому вес тела Р на поверхности Земли равен:

 

 (1.9)

 

Вес тела отличается от действующей на него силы тяготения F_тяг как по модулю, так и по направлению (хотя и незначительно). Поскольку F_ц.б. зависит от географической широты, то и вес тела будет зависеть от широты. Вес тела можно представить в виде произведения массы на ускорение свободного падения:

 

 

Эта формула верна лишь в том случае, когда тело и опора неподвижны относительно земли. Если же тело и опора движутся с некоторым ускорением а, то вес тела не будет равен mg_φ. Действительно, в движущейся с ускорением а системе отсчета на тело действуют, кроме сил тяготения, силы инерции, связанные с вращением Земли (F_ц.б. и F_кop), и силы инерции F_ин.nocт, обусловленные поступательным движением системы отсчета К':

 

 

Результирующая этих сил равна:

 

 

С такой силой тело, покоящееся в системе отсчета К', действует на удерживающую опору. Тогда

 

 

Учитывая, что

 

 

получаем:

 

 (1.10)

 

Таким образом, вес тела в системе отсчета, движущейся относительно земли с ускорением, отличается от произведения mg_φ, т.е. от веса тела на поверхности земли. Если сила Кориолиса невелика (при малой скорости движения тела относительно земли), то ее можно не учитывать. Тогда

 

 (1.11)

 

где g* - напряженность результирующего поля сил тяготения и инерции в системе отсчета К'.

Формула (1.10) определяет вес тела в самом общем случае, а формула (1.11) - при условии, что силой Кориолиса можно пренебречь. Для величины g_φ берут среднее значение ускорения свободного падения g_φ= g = 9,81 м/с². Формула (1.11) справедлива для опоры или подвеса любого вида.

Перегрузки и невесомость. Если модуль веса тела |Р| в (1.11) превосходит вес тела, покоящегося на земле (mg), то говорят, что внутри движущейся системы отсчета (например, самолета или космического корабля) установилось состояние перегрузки. Количественно перегрузка n выражается так:

 

 

Десятикратная (n= 10) кратковременная перегрузка является пределом для человека (тренированного космонавта). Допустимое значение длительных перегрузок меньше. Имеющиеся для человека ограничения в перегрузках создают серьезные затруднения в использовании космических пилотируемых кораблей для исследования других (даже самых близких) звездных систем.

Чтобы космонавт мог в течение своей жизни (60 лет) достигнуть самой близкой к нам звезды α-Центавра, удаленной от Земли на расстояние, равное четырем световым годам, космический корабль должен как можно быстрее набрать скорость, соизмеримую со скоростью света. Расчет показывает, что необходимое для этого ускорение создает такую перегрузку, которую человек не сможет вынести, если не будут разработаны специальные защитные меры.

 

 

Если система отсчета (космический корабль, например) движется с ускорением а = g, то вес тела согласно (1.11) равен нулю (Р = 0), т.е. тело в этом случае не действует на опору; значит, напряженность результирующего поля сил гравитации и сил инерции в движущейся системе равна нулю (g*=0). Такое состояние и называют состоянием невесомости. Внешним проявлением этого состояния является отсутствие веса у тел. Однако дело не только в этом. При невесомости все тела находятся в особом, недеформированном состоянии. Это обусловлено тем, что в условиях невесомости нет ни массовых сил (g* = 0), ни сил реакции со стороны опоры, т.е. тех сил, которые создают деформацию покоящихся тел.

Для наблюдателя, находящегося в неподвижной (инерциальной) системе отсчета, все тела внутри ракеты и сама ракета или космический корабль свободно "падают" с одинаковым ускорением g. Именно поэтому они находятся друг относительно друга в покое и не оказывают давления друг на друга. По этой же причине частицы одного и того же тела не смещаются относительно друг друга и тело не деформируется. Таким образом, чтобы в ракете была невесомость, она должна двигаться свободно с ускорением g.

Этим способом создают "бассейн" невесомости при тренировках космонавтов. Просторный самолет сначала разгоняют до максимально допустимой скорости v₀, образующей с горизонтом некоторый угол α, а затем выключают двигатели. При этом самолет совершает свободный полет по кривой, близкой к параболе. Отличие от параболы обусловлено наличием сопротивления воздуха. Чтобы движение происходило точно по параболе, двигатели выключают не полностью: они должны создавать тягу, которая компенсирует сопротивление воздуха. Так удается получить невесомость в течение малого промежутка времени.

Деформация Земли. На вращающейся Земле центробежная сила действует не только на тело, лежащее на Земле, но и на каждую частицу самой Земли. Действие этих сил привело к тому, что Земля оказалась деформированной, сжатой у полюсов. Сжатие шарообразного тела у полюсов можно проиллюстрировать на следующей модели. Два круговых обруча из тонких полосок стали насажены на вертикальный стержень (рис.1.10, а). В нижней части обручи скреплены со стержнем. В верхней (В) они свободно могут скользить по стержню. Если привести обручи во вращение, то под действием центробежных сил они сожмутся в направлении оси вращения (рис.1.10,6).

В результате сплюснутости Земли ее полярная ось почти на ¹/₃₀₀ долю короче диаметра экватора. А это приводит к тому, что и сила тяготения вблизи поверхности Земли становится зависящей от широты: она наибольшая на полюсе и наименьшая на экваторе. Поэтому фактическая зависимость g_φ от φ будет более сложной, чем это выражено соотношением (1.8), в котором ускорение g_o. сообщаемое телу силой тяготения, принималось не зависящим от широты. Измерения на различных широтах привели к следующей эмпирической формуле:

 

 (1.12)

 

Здесь g_φ выражается в метрах на секунду в квадрате (м/с²). Поправочный член достигает наибольшей величины при φ= 0, т.е. на экваторе, и достигает значения 0,052 м/с². Ввиду малости этой величины ее влиянием в ряде случаев можно пренебрегать. При расчетах часто берут значение g_φ на уровне моря для широты φ = 45° (g_45° = 9,81 м/с²).

Проявление сил Кориолиса. На любое тело, движущееся по поверхности Земли, действует кориолисова сила

 

 

На рисунке 1.11 показаны силы Кориолиса для различных движений. В точке А тело движется с севера на юг. На него действует сила Кориолиса F_коp, направленная на запад - вправо относительно направления v'. Если бы тело двигалось с юга на север, то F_кop была бы направлена на восток - снова вправо относительно v'. В точке В, находящейся также в северном полушарии, тело движется на восток, а кориолисова сила направлена на юг - опять вправо относительно v'. В точке С, находящейся в южном полушарии, сила Кориолиса направлена влево относительно скорости v'.

Если тело движется на экваторе и с юга на север или с севера на юг, то F_кор = 0, так как ω|| v'. Если же тело на экваторе движется с запада на восток (точка D), то сила Кориолиса направлена вертикально вверх; при движении с востока на запад эта - сила направлена вертикально вниз. Таким образом, силы Кориолиса в северном полушарии Земли стремятся сместить движущееся тело вправо, а в южном полушарии - влево по отношению к скорости движения тела v'.

 

 

По этой причине в северном полушарии правые берега рек более размытые, чем левые, а в южном полушарии, наоборот, более размыты левые берега; в северном полушарии большую нагрузку испытывает правый рельс железной дороги, а в южном - левый рельс.

Силы Кориолиса оказывают действие на движущиеся корабли и самолеты. Они особенно значительны для самолетов, движущихся с большими скоростями, для ракет, спутников Земли и т.д. Кориолисовы силы оказывают отклоняющее действие на воздушные течения в атмосфере и водные течения в океанах. Эти силы вызывают поворот плоскости колебания маятника (опыт Фуко).

Действием силы Кориолиса объясняются многие интересные явления на Земле. Земля - шар, а не диск. Поэтому проявления сил Кориолиса сложнее. Эти силы будут сказываться как на движении вдоль земной поверхности, так и при падении тел на Землю.

Падает ли тело строго по вертикали? Не вполне. Только на полюсе тело падает строго по вертикали. Направление движения и ось вращения Земли совпадают, поэтому сила Кориолиса отсутствует. Иначе обстоит дело на экваторе; здесь направление движения составляет прямой угол с земной осью. Если смотреть со стороны северного полюса, то вращение Земли представится нам против часовой стрелки. Значит, свободно падающее тело должно отклониться вправо по ходу движения, т.е. на восток. Величина восточного отклонения, наибольшего на экваторе, уменьшается до нуля с приближением к полюсам.

Должны ли учитывать силу Кориолиса артиллеристы? Пушка Берта, из которой немцы вели обстрел Парижа во время первой мировой войны, находилась в 110 км от цели. Отклонение Кориолиса достигает в этом случае 1600 м. Это уже не маленькая величина.

Если летающий снаряд будет отправлен на большое расстояние без учета силы Кориолиса, то он значительно отклонится от курса. Этот эффект велик не потому, что велика сила (для снаряда в 10 т, имеющего скорость 1000 км/ч, сила Кориолиса будет около 25 кгс), а потому, что сила действует непрерывно длительное время.

Конечно, влияние ветра на неуправляемый снаряд может быть не менее значительным. Поправка к курсу, которая дается пилотом, обусловлена действием ветра, эффектом Кориолиса и несовершенством самолета.

Какие специалисты, кроме авиаторов и артиллеристов, должны принять эффект Кориолиса во внимание? К ним относятся, как ни странно, и железнодорожники. На железной дороге один рельс под действием кориолисовой силы истирается изнутри заметно больше другого. Даже ясно какой именно: в северном полушарии это будет правый рельс (по ходу движения), в южном - левый. Лишены хлопот по этому поводу лишь железнодорожники экваториальных стран.

Известно, что в район пониженного давления направляются потоки воздуха. Но почему такой ветер называется циклоном? Ведь корень этого слова указывает на круговое (циклическое) движение.

Так оно и есть - в районе пониженного давления возникает круговое движение воздушных масс. Причина заключается в действии силы Кориолиса. В северном полушарии все устремляющиеся к месту пониженного давления воздушные потоки отклоняются вправо по своему движению. Это приводит к отклонению дующих в обоих полушариях от тропиков к экватору ветров к западу.

Почему же такая небольшая сила играет такую большую роль в движении воздушных масс?

Это объясняется незначительностью сил трения. Воздух легко подвижен, и малая, но постоянно действующая сила приводит к важным следствиям.

Маятник Фуко. Представим себе маятник, помещенный над Северным полюсом Земли (рис.1.12) на длинном, свободно вращающемся подвесе. Отведем его от положения равновесия и дадим возможность свободно качаться. Маятник движется под действием силы тяжести и силы натяжения подвеса. Обе они лежат в плоскости качания маятника, следовательно,

плоскость качания должна сохранять свое положение в пространстве. Земля же поворачивается под маятником. Проекция плоскости качания на поверхность Земли у полюса поворачивается в направлении, противоположном вращению Земли, со скоростью 15° в час. Таким образом, в неподвижной системе отсчета поворот проекции плоскости качания маятника есть результат постоянства положения плоскости качания и вращения относительно нее Земли.

Рассматривая движение маятника в системе координат, связанной с Землей, к указанным выше силам нужно добавить силу Кориолиса. На полюсе скорость маятника v' при большой длине подвеса можно считать перпендикулярной оси вращения Земли и, следовательно, вектору угловой скорости ω. Сила Кориолиса, действующая на маятник, будет равна

 

F_K = 2mv' ω

 

Будучи перпендикулярна к плоскости, включающей векторы v' и ω, она лежит в горизонтальной плоскости и в соответствии с правилом буравчика направлена вправо от направления движения маятника. Плоскость качания

маятника должна поворачиваться по часовой стрелке (так как сила Кориолиса никакой другой силой не уравновешена) и совершать один оборот в сутки. На рисунке 1.13 показана розетка, которую очерчивает на горизонтальном листе бумаги перо, прикрепленное к маятнику.

Если опыт производится не на полюсе, а на широте φ, то, чтобы получить горизонтальную составляющую силы Кориолиса, надо взять составляющую угловой скорости в направлении вертикали данного места: ω_φ = ω sin φ. Тогда

 

F_Кφ = mv' ω sin φ

 

В этом случае плоскость качания повернется за сутки на угол 2л sin φ радиан.

Опыт Фуко, произведенный им в 1850 г. в Париже, явился непосредственным доказательством вращения Земли вокруг своей оси.

Другие проявления вращения Земли. Рассмотрим как наиболее простой случай движение поезда. Положим, поезд движется с юга на север вдоль меридиана в северном полушарии. Он переходит от точек Земли, имеющих большую окружную скорость v₁ (слева направо по движению поезда), к точкам, имеющим меньшую скорость v₂. Сохраняя по инерции некоторое время скорость v₁ поезд ребордой колеса давит на правый рельс и этим способствует быстрому его снашиванию.

В системе отсчета, связанной с Землей, на поезд действует сила Кориолиса. Величину ее горизонтальной составляющей можно найти, взяв проекцию угловой скорости вращения Земли на вертикаль данного места:

 

F_K = 2mv' ω sin φ

 

Направлена сила всегда вправо по ходу поезда. Поэтому на двухколейных железных дорогах износ правого рельса происходит быстрее, чем левого. Заметим, что сила Кориолиса проявляется при движении и под углом к меридиану или вдоль параллели. При движении вдоль параллели кориолисова сила направлена от оси вращения Земли, если поезд движется на восток, и к оси, если он движется на запад. Проекция силы на горизонтальную плоскость в этом случае:

 

F_K = 2mv' ω sin φ

 

 

Рис. 1.13 Розетка, полученная при записи качаний маятника во вращающейся системе: а – запись начинается при движении от положения равновесия; б – запись начинается при движении от положения наибольшего отклонения.

 

Отклоняющее влияние кориолисовой силы заставляет мощное океаническое течение Гольфстрим, выходящее из Мексиканского залива через Флоридский пролив в направлении, близком к меридиональному, отойти от берегов

Америки, пересечь Атлантический океан и выйти в Баренцево море у берегов Скандинавии.

Так называемые дрейфовые (ветровые) течения вследствие отклоняющего влияния силы Кориолиса всегда образуют некоторый угол с направлением вызвавшего их ветра.

Сильно нагретый в зоне экватора воздух поднимается вверх и движется к полюсам. Охлаждаясь на высоте, воздух на широтах 25-30° устремляется вниз, образуя так называемые субтропические области высокого давления. От этих областей по направлению к экватору дуют постоянные ветры, называемые пассатами. Под влиянием силы Кориолиса они отклоняются от меридионального направления и дуют в северном полушарии с северо-востока на юго-запад, а в южном - с юго-востока на северо-запад.

Во всех приведенных выше примерах рассматривается влияние на движение тел в системе отсчета, связанной с Землей, вращения Земли вокруг собственной оси. Строго говоря, нужно было бы еще рассмотреть и влияние движения Земли по орбите вокруг Солнца. Однако это влияние настолько мало, что им вполне можно пренебречь даже в описании явлений таких масштабов, как атмосферные и океанические течения.