Функция и ряд распределения

Введение

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. На сегодняшний день это полноценная наука, имеющая большое практическое значение.

История теории вероятности восходит к XVII веку, когда были предприняты первые попытки систематического исследования задач, относящихся к массовым случайным явлениям, и появился соответствующий математический аппарат. С тех пор, многие основы были разработаны и углублены до нынешних понятий, были открыты другие важные законы и закономерности. Множество ученых работало и работает над проблемами теории вероятностей.

Среди них нельзя не обратить внимание на труды Симеона Дени Пуассона ((1781–1840) – французский математик), доказавшего более общую, чем у Якова Бернулли, форму закона больших чисел, а также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы. С именем Пуассона связан один из законов распределения, играющий большую роль в теории вероятностей и ее приложениях.

Число наступлений определённого случайного события за единицу времени, когда факт наступления этого события в данном эксперименте не зависят от того, сколько раз и в какие моменты времени оно осуществлялось в прошлом, и не влияет на будущее. А испытания производятся в стационарных условиях, то для описания распределения такой случайной величины обычно используют закон Пуассона (данное распределение впервые предложено и опубликовано этим учёным в 1837 г.).

Этот закон можно также описывать как предельный случай биноминального распределения, когда вероятность p осуществления интересующего нас события в единичном эксперименте очень мала, но число экспериментов m, производимых в единицу времени, достаточно велико, а именно такое, что в процессе p 0 и m  произведение mp стремится к некоторой положительной постоянной величине  (т.е. mp ).

Поэтому закон Пуассона часто называют также законом редких событий.

Распределение Пуассона в теории вероятностей

Функция и ряд распределения

Распределение Пуассона – это частный случай биномиального распределения (при n >> 0 и при p –> 0 (редкие события)).

Из математики известна формула, позволяющая примерно подсчитать значение любого члена биномиального распределения:

где a = n · p – параметр Пуассона (математическое ожидание), а дисперсия равна математическому ожиданию. Приведем математические выкладки, поясняющие этот переход. Биномиальный закон распределения

P_m = C_n^m · p^m · (1 – p)^{n – m}

может быть написан, если положить p = a/n, в виде

или

Так как p очень мало, то следует принимать во внимание только числа m, малые по сравнению с n. Произведение

весьма близко к единице. Это же относится к величине

очень близка к e^–a. Отсюда получаем формулу:

число Эйлера (2,71…).

,

Для производящей функции  величины  имеем:

Интегральная функция вероятности распределения равна

Классическим примером случайной величины, распределенной по Пуассону, является количество машин, проезжающих через какой-либо участок дороги за заданный период времен. Также можно отметить такие примеры, как количество звезд на участке неба заданной величины, количество ошибок в тексте заданной длины, количество телефонных звонков в call-центре или количество обращений к веб-серверу за заданный период времени.

Ряд распределения случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, выглядит следующим образом:

хm	0	1	2	…	m	…
Pm	e-a			…		…

На рис. 1 представлены многоугольники распределения случайной величины Х по закону Пуассона, соответствующие различным значениям параметра а.

Для начала убедимся, что последовательность вероятностей, может представлять собой ряд распределения, т.е. что сумма всех вероятностей Р _m равна единице.

Используем разложение функции е^х в ряд Маклорена:

Известно, что этот ряд сходится при любом значении х, поэтому, взяв х=а, получим

следовательно