Пример непрерывной функции без производной
12 Первый пример такого рода был построен Вейерштрассом; его функция определяется рядом: , где 0<a<1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab>1+ π). Этот ряд мажорируется сходящейся прогрессией , следовательно (признаки равномерной сходимости рядов), сходится равномерно, и его сумма является всюду непрерывной функцией от x. Кропотливым исследованием Вейерштрассу удалось показать, что тем не менее ни в одной точке для нее не существует конечной производной. Здесь будет рассмотрен более простой пример ван-дер-Вардена, построенный по существу на той же идее, лишь колеблющиеся кривые у=cosωχ заменены колеблющимися ломаными. Итак, обозначим через абсолютную величину разности между числом χ и ближайшим к нему целым числом. Эта функция будет линейной в каждом промежутке вида , где s-целое; она непрерывна и имеет период 1. Ее график представляет собой ломаную, он изображен на рис.1; отдельные звенья ломаной имеют угловой коэффициент ±1.
Положим, затем, для к=1,2,3,…: Эта функция будет линейной в промежутках вида ; она также непрерывна и имеет период . Ее график также ломаная, но с более мелкими зубчиками; на рис.1(б), например, изображен график функции . Во всех случаях угловые коэффициенты отдельных звеньев ломаной и здесь равны ±1. Определим теперь, для всех вещественных значений x, функцию f(x) равенством Так как, очевидно, 0≤ (k=0,1,2,…), так что ряд мажорируется сходящейся прогрессией , то (как и в случае функции Вейерштрасса) ряд сходится равномерно, и функция всюду непрерывна. Остановимся на любом значении . Вычисляя его с точностью до (где n=0,1,2,…), по недостатку и по избытку, мы заключим его между числами вида: ≤ , где -целое. (n=0,1,2,…). Очевидно, что замкнутые промежутки оказываются вложенными один в другой. В каждом из них найдется такая точка , что расстояние ее от точки равно половине длины промежутка. = ; Ясно, что с возрастанием n варианта . Составим теперь отношение приращений = Но при k>n, число есть целое кратное периодам функции , соответствующие члены ряда обращаются в 0 и могут быть опущены. Если же k≤n, то функция , линейная в промежутке , будет линейной и в содержащемся на нем промежутке , причем (k=0,1,…,n). Таким образом, имеем окончательно иными словами, это отношение равно четному целому числу при нечетном n и нечетному числу при четном n. Отсюда ясно, что при отношение приращений ни к какому конечному пределу стремится не может, так что наша функция при конечной производной не имеет.
Решение упражнений Упражнение 1 ([2], №909) Функция определена следующим образом: . Исследовать непрерывность и выяснить существование Решение На непрерывна как многочлен; На (0;1) непрерывна как многочлен; На (1;2) непрерывна как многочлен; На (2; непрерывна как элементарная функция. - точки подозрительные на разрыв
Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке .
Так как левый предел равен правому пределу и равен значению функции в точке функция непрерывна в точке
Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке . 1 способ. В точке не существует конечной производной функции Действительно, предположим противное. Пусть в точке существует конечная производная функции непрерывна в точке (по теореме 1: Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна. 2 способ. Найдем односторонние пределы функции в точке x=0.
Упражнение 2 ([1], №991) Показать, что функция имеет разрывную производную. Решение. Найдем производную функции. При При Предел не существует разрывна в точке Так как – бесконечно малая функция, - ограниченная. Докажем, что функция в точке предела не имеет. Для доказательства достаточно показать, что существуют две последовательности значений аргумента сходящиеся к 0, что не сходится к
Вывод: функция в точке предела не имеет. Упражнение 3 ([1], №995) Показать, что функция где - непрерывная функция и не имеет производной в точке . Чему равны односторонние производные Решение.
Односторонние пределы не равны функция не имеет производной в точке . Упражнение 4 ([1], №996) Построить пример непрерывной функции, не имеющей производной функции в данных точках: Решение. Рассмотрим функцию в точках Найдем односторонние пределы
=
=
Односторонние пределы не равны функция не имеет производной в точке . Аналогично, функция не имеет производных в остальных точках Упражнение 5 ([4], №125) Показать, что функция не имеет производной в точке . Решение Возьмем приращение Дадим точке приращение Получим Найдем значение функции в точках и
Найдем приращение функции в точке
Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента
Перейдем к пределу
Вывод: не имеет конечной производной в точке . Упражнение 6 ([4], №128) Показать, что функция не имеет производной в точке . Решение Возьмем приращение Дадим точке приращение Получим Найдем значение функции в точках и
Найдем приращение функции в точке
Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента
Перейдем к пределу
Вывод: не имеет конечной производной в точке . Упражнение 7 ([4], №131) Исследовать функцию на непрерывность
Решение. На На – точка подозрительная на разрыв Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция непрерывна в точке существует разрыв Iрода.
Заключение
12
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1404)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |