Необходимое и достаточное условие существования экстремума функций нескольких переменных
безусловный оптимизация лагранж экстремум Рассмотрим функцию n действительных переменных. Введем матричные обозначения для точки в n-мерном пространстве, градиента (вектора частных производных первого порядка функции f) и гессиана (матрицы частных производных второго порядка):
- точка в n-мерном пространстве,
- градиент, - гессиан (матрица Гессе).
- элемент G(X) - частная производная второго порядка. G(X) - симметрическая матрица [2]. Определение 3. Функция имеет локальный минимум в точке , если существует окрестность точки , такая, что во всех точках этой окрестности, то есть существует такая d>0, что для всех справедливо [1]. Определение 4. Если для всех X из области определения функции f, то - точка глобального минимума[1]. Предполагая непрерывность и всех ее частных производных, можно обобщить классический подход на случай n³2. Запишем разложение функции в ряд Тейлора:
.
Тогда, если - точка минимума функции , то каждая первая частная производная , должна обращаться в ноль в точке , иначе соответствующим выбором H можно будет добиться того, что разность , будет отрицательна [2]. Необходимое условие существования минимума в точке : Если функция дифференцируема в точке , то она может иметь в этой точке внутренний максимум или минимум лишь в том случае, когда ее первый дифференциал обращается в этой точке в нуль:
.
Тогда знак разности , определяется членом , который положителен для всех H, если матрица G( ) положительно определена, и отрицателен при отрицательно определенном гессиане [3]. Достаточное условие: Если функция имеет в точке непрерывные вторые частные производные и если в этой точке выполняются необходимые условия, то в случае: если - положительно определена, то - минимум; если - отрицательно определена, -максимум. Таким образом, для решения задачи оптимизации классическим методом необходимо решить систему уравнений , что невозможно сделать аналитически за исключением очень узкого класса таких систем (например, система линейных уравнений невысокого порядка). Затем придется еще устанавливать определенность гессиана, что тоже является совсем нетривиальной задачей в случае больших размерностей. Все это приводит к необходимости разрабатывать итерационные процедуры решения задач оптимизации[2].
Условная оптимизация Задача условной оптимизации заключается в поиске минимального или максимального значения скалярной функции f(x) n-мерного векторного аргументах при заданных ограничениях[5].
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (183)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |