Безусловная оптимизация

Пример 1. Функция Коши f(x)= (f(0)=0) имеет при x=0 производные всех порядков, причем все они равны нулю. Хотя при x=0 эта функция имеет минимум, установить этот факт с помощью правила

максимум при f '(a)=0 и f ''(a)<0,

минимум при f '(a)=0 и f ''(a)>0. (1)

невозможно. С помощью же правила:

Если производная f '(x) при переходе через стационарную точку а меняет

знак “+” на ”-”, то налицо максимум,

знак “-” на ”+”, то налицо минимум. (2)

Если f '(x) знака не меняет, то экстремума нет.

это удается сделать:

 

f '(x)= ,

 

слева от нуля f '(x)<0, а справа от нуля f '(x)>0.

По правилу (2) в точке x=0 функция f (x) обращается в минимум.

Пример 2. Найти экстремумы функции f(x) = x³(x² - 1) при -1≤x≤2.

Необходимое условие оптимальности:

 

f '(x)=5x⁴ - 3x² = x²(5x² - 3) = 0.

 

Корни этого уравнения: х=0, . Присоединяя к ним граничные значения х= -1 и х=2, получаем пять стационарных точек:₁ = - 1, x₂ = - 0,775, x₃ = 0, x₄ = 0,775, x₅ = 2.

Поскольку f '(x₁) >0 и f '(x₅) >0, в точке x₁ - граничный минимум, в точке x₅ - граничный максимум. Далее, в точке x₂ вторая производная

следовательно, это точка локального максимума, в точке x₄ производная''(x₄) = 4,66>0,

значит, это точка локального минимума. Далее, в точке x₃:''(x₃) =0, f '''(x₃) 0

Поскольку номер отличной от нуля производной - нечетное число, в точке x₃ экстремума нет, здесь - перегиб.

Пример 3. Найти экстремумы функции двух переменных= 3x³ - x+ y³ - 3y² - 1.

Необходимые условия оптимальности:

 

 

Решение системы:

 

 

Координаты четырех стационарных точек приведены в таблице:

 

Координаты стационарной точки	Номер стационарной точки j
	1	2	3	4
xj
yj	0	0	2	2

 

 

Для анализа достаточных условий оптимальности находим вторые производные от целевой функции:

 

 

Уравнение для отыскания собственных значений матрицы вторых производных в соответствии с условием выглядит так:

 

 

Если часть собственных значений положительна, а другая часть отрицательна, квадратичная форма не определена. Если все собственные значения положительны, то матица вторых производных положительно определена. Собственные значения являются корнями алгебраического уравнения. Результаты решения уравнения для каждой из стационарных точек и определяемые ими характеристики экстремумов приведены в таблице:

 

Параметр		Номер стационарной точки, j
		1	2	3	4
Собственые значения	l	6	-6	6	6
	l	-6	-6	6	-6
Характер extr		extr нет	max	min	extr нет

 

Метод Лагранжа

Пример 1. Найти локальные решения задачи

 

 

Последовательность решения:

) формируем функцию Лагранжа

 

 

2) находим вектор первых производных функции Лагранжа

 

 

3) формируем систему уравнений для отыскания координат стационарных точек

 

 или

 

4) решаем полученную систему, результаты приведены в таблице:

 

Координаты стационарной точки	Номер стационарной точки, j
	1	2	3
x1j	0	1
x2j	1	0
y j

 

5) находим матрицу вторых производных функции Лагранжа

 

 

Для стационарных точек 1-3 эта матрица принимает соответственно следующий вид:

 

, , ;

 

б) находим вектор h, уравнения  в данном случае он выглядит так:

 

.

 

Результаты его решения приведены в таблице:

Значения компонентов вектора h	Номер стационарной точки, j
	1	2	3
h1j	¹0	=0	¹0
h2j	=0	¹0
	(ah11, 0)	(0,bh22)	(-ah13, -bh23)

 

7) находим произведение матрицы на вектор h (см. третью строку таблицы). Это вектор, r-й компонент которого равен скалярному произведению r-й строки матрицы на вектор-сомножитель;

) находим скалярное произведение векторов  и h для выяснения смысла условия :

 

 

 

Таким образом, в первой и второй стационарной точке достигается локальный минимум, а в третьей - локальный максимум.

 

 

Заключение

 

Цель данной курсовой работы была - изучить методы одномерной оптимизации и разобрать примеры с применением данных методов.

В соответствии с поставленной целью в ходе работы было выяснено, что дополнительные трудности при решении оптимальной задачи методами исследования функций классического анализа возникают вследствие того, что система уравнений, получаемая в результате их применения, обеспечивает лишь необходимые условия оптимальности. Поэтому все решения данной системы (а их может быть и несколько) должны быть проверены на достаточность. В результате такой проверки сначала отбрасывают решения, которые не определяют экстремальные значения критерия оптимальности, а затем среди остающихся экстремальных решений выбирают решение, удовлетворяющее условиям оптимальной задачи, т. е. наибольшему или наименьшему значению критерия оптимальности в зависимости от постановки задачи. Так же были выполнены следующие задачи:

-  описана основная теория;

-  рассмотрены решения некоторых примеров с применением данных методов.

 

 

Список литературы

 

1. Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления <http://www.alleng.ru/d/math/math169.htm>, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. т.1

.   Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. - М.: Радио и связь, 1988.

.   А.В. Аттетков, С.В. Галкин, В.С. Зарубин, «Методы оптимизации», Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003.

.   С.А. Шипилов, Методы безусловной многомерной оптимизации, НФИ КемГУ - Новокузнецк, 2000.

.   Манита Л.А., Условия оптимальности в конечномерных нелинейных задачах оптимизации, Московский государственный институт электроники и математики. М., 2010.

.   Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В., Курс методов оптимизации, 2-е изд., М.:ФИЗМАТЛИТ, 2005.