Задание 1 Обусловленность матрицы
12 Расчетно-графическая работа по курсу: «Вычислительная математика»
Выполнила: Студентка II курса Булгакова Н. Группы ВТБ-81 Проверил: Преподаватель Голубева Елена Николаевна
г. 362964Бердск, 2010 Задание 1 Обусловленность матрицы Задание: Дана система уравнений ax=b порядка n. Исследовать зависимость погрешности решения x от погрешностей правой части системы b.
погрешность уравнение координата интерполяция дифференциальный 1. Задать матрицу системы A и вектор правой части b, найти решение x системы Ax=b с помощью метода Гаусса. 2. Принимая решение x, полученное в п.1, за точное, вычислить вектор
относительных погрешностей решений систем ,где компоненты векторов вычисляются по формулам:
( -произвольная величина погрешности). 3. На основе вычисленного вектора d построить гистограмму. По гистограмме определить компоненту , вектора b, которая оказывает наибольшее влияние на погрешность решения. 4. Вычислить число обусловленности cond(A) матрицы A. 5. Оценить теоретически погрешность решения по формуле:
Сравнить значение со значением практической погрешности Объяснить полученные результаты. Решение 1. Задаём матрицу А.
Для заполнения используем код программы zapolnenie . cpp (см. приложение)
#include <iostream.h> #include <stdio.h> #include <conio.h> #include <math.h> #include <windows.h> #include <dos.h> main() { double matr[100][100];
for (int i=1;i<7;i++) { for (int j=1;j<7;j++) matr[i][j]= 1000/(3*(pow(0.1*21*i*j,2))+pow(0.1*21*i*j,3)); } for ( int j=1;j<7;j++) { for ( int i=1;i<7;i++)
printf("%10.4f",matr[j][i]); printf("\n"); }
getchar(); }
Результат работы zapolnenie:
Найдем решение полученной матрицы используя программу gauss . cpp (см приложение) Исходный код gauss.cpp:
#include <iostream.h> #include <stdio.h> #include <windows.h> #include <math.h> #include <conio.h> #include <dos.h>
const int sz=6;
double A[sz][sz]={ {44.4622, 7.8735, 2.7092, 1.2432, 0.6719, 0.4038}, {7.8735, 1.2432, 0.4038, 0.1789, 0.0945, 0.0558}, {2.7092, 0.4038, 0.1278, 0.0558, 0.0292, 0.0172}, {1.2432, 0.1789, 0.0558, 0.0242, 0.0126, 0.0074}, {0.6719, 0.0945, 0.0292, 0.0126, 0.0065, 0.0038}, {0.4038, 0.0558, 0.0172, 0.0074, 0.0038, 0.0022} } ; double F[sz]={21.00,21.00,21.00,21.00,21.00,21.00} ; double X[sz]; double b[sz+1],par;
// функция вывода матрицы на экран void Viv(double A[sz][sz]) { int i,j; for( i=0;i<sz; i++) { for( j=0;j<sz; j++) printf(" %.4f ",A[i][j]); //вывод на экрам исходной матрицы с заданным количеством знаков после запятой (5f) printf(" %.4f ",F[i]); cout<<endl; } system("pause"); }
/////////////// функция решения методом Гаусса void Resh(double A[sz][sz],double F[sz],double X[sz]) { int i,j,k; for (k=0;k<sz;k++) { // проверяем первый элемент if (A[k][k]==0) //проверка на неноль { for (i=k;A[i][k]==0;i++); // находим ненулевой 1й элемент for(j=k;j<sz;j++) // меняем строки в матрице { par=A[k][j]; //смена строк в матрице A[k][j]=A[i][j]; //путем записи в par и извлечения из него A[i][j]=par; } par=F[k]; // смена строк в ответе F[k]=F[i]; F[i]=par;
}
// получаем 1й элемент единицу (делим всю первую строку на a1,1 ) par=A[k][k]; //пишем в par первый элемент for(int i=k;i<sz;i++) A[k][i]=A[k][i]/par; F[k]=F[k]/par; // делим ответ на 1й
// нулевой столбец for(int j=k+1;j<sz;j++) { for(int i=k;i<sz;i++) b[i]=A[k][i]*A[j][k]; b[sz]= F[k]*A[j][k];
for(int i=k;i<sz;i++) A[j][i]-=b[i]; F[j]-=b[sz]; } } for(i=sz-1;i>=0;i--) //обратка { par=0; for (j=0;j<sz-1-i;j++) par+=A[i][sz-j-1]*X[sz-1-j]; X[i]=F[i]-par; } }
//функция - точка входа в программу void main() { Viv(A); // выводим матрицу Resh(A,F,X); // решаем матрицу A методом Гаусса for(int i=0;i<sz;i++) printf("\nX[%d]= %.5f \n\r",i,X[i]); // вывод результата
system("pause"); }
Результат работы gauss: ==================================================== точное ==================================================== 44.4622 7.8735 2.7092 1.2432 0.6719 0.4038 21.0000 7.8735 1.2432 0.4038 0.1789 0.0945 0.0558 21.0000 2.7092 0.4038 0.1278 0.0558 0.0292 0.0172 21.0000 1.2432 0.1789 0.0558 0.0242 0.0126 0.0074 21.0000 0.6719 0.0945 0.0292 0.0126 0.0065 0.0038 21.0000 0.4038 0.0558 0.0172 0.0074 0.0038 0.0022 21.0000 Для продолжения нажмите любую клавишу . . .
X[0]= 872.15582
X[1]= -16329.24792
X[2]= 10011.59140
X[3]= 111650.80126
X[4]= -26697.87796
X[5]= -144076.29603
Для продолжения нажмите любую клавишу . . . ======================================================
2. Вычисляем вектор d. Величина погрешности, вносимой в правую часть системы – 1%. Сформируем векторы b (по заданному закону)
Для каждого из них найдем решение матрицы, используя gauss С погрешностью в …. компоненте ====================================================== в первой ====================================================== 44.4622 7.8735 2.7092 1.2432 0.6719 0.4038 20.7900 7.8735 1.2432 0.4038 0.1789 0.0945 0.0558 21.0000 2.7092 0.4038 0.1278 0.0558 0.0292 0.0172 21.0000 1.2432 0.1789 0.0558 0.0242 0.0126 0.0074 21.0000 0.6719 0.0945 0.0292 0.0126 0.0065 0.0038 21.0000 0.4038 0.0558 0.0172 0.0074 0.0038 0.0022 21.0000 Для продолжения нажмите любую клавишу . . .
X[0]= 872.07580
X[1]= -16327.25169
X[2]= 10005.24500
X[3]= 111652.84781
X[4]= -26679.82743
X[5]= -144100.68447 Для продолжения нажмите любую клавишу . . . ====================================================== во второй ====================================================== 44.4622 7.8735 2.7092 1.2432 0.6719 0.4038 21.0000 7.8735 1.2432 0.4038 0.1789 0.0945 0.0558 20.7900 2.7092 0.4038 0.1278 0.0558 0.0292 0.0172 21.0000 1.2432 0.1789 0.0558 0.0242 0.0126 0.0074 21.0000 0.6719 0.0945 0.0292 0.0126 0.0065 0.0038 21.0000 0.4038 0.0558 0.0172 0.0074 0.0038 0.0022 21.0000 Для продолжения нажмите любую клавишу . . .
X[0]= 874.15205
X[1]= -16398.19981
X[2]= 10378.69292
X[3]= 111250.49388
X[4]= -27254.14851
X[5]= -143256.57148 Для продолжения нажмите любую клавишу . . . ====================================================== в третьей ====================================================== 44.4622 7.8735 2.7092 1.2432 0.6719 0.4038 21.0000 7.8735 1.2432 0.4038 0.1789 0.0945 0.0558 21.0000 2.7092 0.4038 0.1278 0.0558 0.0292 0.0172 20.7900 1.2432 0.1789 0.0558 0.0242 0.0126 0.0074 21.0000 0.6719 0.0945 0.0292 0.0126 0.0065 0.0038 21.0000 0.4038 0.0558 0.0172 0.0074 0.0038 0.0022 21.0000 Для продолжения нажмите любую клавишу . . .
X[0]= 865.80942
X[1]= -15962.14640
X[2]= 7652.50187
X[3]= 114149.98680
X[4]= -23271.06118
X[5]= -148104.07985 Для продолжения нажмите любую клавишу . . . ====================================================== в четвёртой ====================================================== 44.4622 7.8735 2.7092 1.2432 0.6719 0.4038 21.0000 7.8735 1.2432 0.4038 0.1789 0.0945 0.0558 21.0000 2.7092 0.4038 0.1278 0.0558 0.0292 0.0172 21.0000 1.2432 0.1789 0.0558 0.0242 0.0126 0.0074 20.7900 0.6719 0.0945 0.0292 0.0126 0.0065 0.0038 21.0000 0.4038 0.0558 0.0172 0.0074 0.0038 0.0022 21.0000 Для продолжения нажмите любую клавишу . . .
X[0]= 874.20237
X[1]= -16729.55530
X[2]= 12510.77695
X[3]= 111600.37766
X[4]= -35532.05319
X[5]= -138409.12992 Для продолжения нажмите любую клавишу . . . ====================================================== в пятой ====================================================== 44.4622 7.8735 2.7092 1.2432 0.6719 0.4038 21.0000 7.8735 1.2432 0.4038 0.1789 0.0945 0.0558 21.0000 2.7092 0.4038 0.1278 0.0558 0.0292 0.0172 21.0000 1.2432 0.1789 0.0558 0.0242 0.0126 0.0074 21.0000 0.6719 0.0945 0.0292 0.0126 0.0065 0.0038 20.7900 0.4038 0.0558 0.0172 0.0074 0.0038 0.0022 21.0000 Для продолжения нажмите любую клавишу . . .
X[0]= 890.20635
X[1]= -16885.51847
X[2]= 13438.40819
X[3]= 102816.62603
X[4]= -16375.93145
X[5]= -148185.68530 Для продолжения нажмите любую клавишу . . . ====================================================== в шестой ===================================================== 44.4622 7.8735 2.7092 1.2432 0.6719 0.4038 21.0000 7.8735 1.2432 0.4038 0.1789 0.0945 0.0558 21.0000 2.7092 0.4038 0.1278 0.0558 0.0292 0.0172 21.0000 1.2432 0.1789 0.0558 0.0242 0.0126 0.0074 21.0000 0.6719 0.0945 0.0292 0.0126 0.0065 0.0038 21.0000 0.4038 0.0558 0.0172 0.0074 0.0038 0.0022 20.7900 Для продолжения нажмите любую клавишу . . .
X[0]= 847.76738
X[1]= -15509.52337
X[2]= 5983.80758
X[3]= 117317.96737
X[4]= -30807.26724
X[5]= -140960.86219 Для продолжения нажмите любую клавишу . . .
На основе полученных значений сформируем вектор d
(см. файл «Вектор и гистограмма.xls»)
Отсюда видим, что
Строим гистограмму элементов вектора относительных погрешностей d. (см. файл «Вектор и гистограмма»)
По гистограмме видно, что наибольшее влияние на погрешность решения оказывает компонента вектора . Найдем число обусловленности матрицы A Число обусловленности матрицы A вычисляется по формуле
Норма матрицы A: =57,3638 Норма обратной матрицы : =129841,19 7448184,055
Теоретическая оценка погрешности
Так как то матрица плохо обусловлена, это значит, что незначительные изменения в правой части приведут к большой погрешности в решении.
Задача 2 Метод хорд
Методом хорд найти корень уравнения с точностью .
Решение Найдем интервал, в котором находится корень:
Корнем уравнения является точка пересечения этих функций
Из графика видно, что корень лежит в интервале . Найдем неподвижный конец:
Для определения используем horda.xls(см. приложение)
Неподвижный конец -1 Выполняем приближение, используя horda.xls
Окончание процесса – при ,это и есть наш корень.
Задача 3 Решение СЛАУ
Решить систему уравнений ax=b, где
Вычислить точностные оценки методов по координатам: , - координаты численного решения, - координаты точного решения.
1. Метод простых итераций Сделаем расчет, используя SLAU.xls
Решение, наиболее близкое к точному, получено из таблицы 3
Х1=1,4740 Х2=1,9479 Х3=0,9109 Х4=2,9879
Найдём :
(МПИ)=1,9109
2. Метод Зейделя Сделаем расчет, используя SLAU.xls
Решение, наиболее близкое к точному, получено на 30 шаге вычислений
Х1=0 Х2=0,9999 Х3=0,9999 Х4=2
Найдём :
=0,0001
Вывод: МПИ - быстрее сходится, но обладает меньшей точностью, чем метод Зейделя, который дольше сходится.
12
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (245)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |