Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро
Начнем с простого замечания: если ряд (А) суммируем по методу средних арифметических к конечной “сумме” А, то необходимо Действительно, из и следует, что
а тогда и что и требовалось доказать. Теорема (Фробениуса). Если ряд (А) суммируем по методу средних арифметических к конечной “сумме” А, то одновременно он суммируем также по методу Пуассона-Абеля и притом к той же сумме. Доказательство. Итак, пусть . Ввиду сделанного вначале замечания очевидна сходимость степенного ряда
для 0< x<1. Выполнив дважды преобразование Абеля, последовательно получим
[при этом следует помнить, что ]. Известно, что (для 0< x<1) или
Умножим обе части тождества на А и вычтем из него почленно предыдущее тождество:
Сумму справа разобьем на две:
Причем число N выберем так, чтобы при было
где - произвольное наперед заданное положительное число. Тогда вторая сумма по абсолютной величине и сама будет меньше (независимо от ), а для первой суммы того же можно добиться за счет приближения x к 1. Этим и завершается доказательство. Итак, мы установили, что во всех случаях, где приложим метод Чезаро, приложим и метод Пуассона-Абеля с тем же результатом. Обратное же неверно: существуют ряды суммируемые методом Пуассона-Абеля, но не имеющие “обобщенной суммы" в смысле Чезаро. Рассмотрим, например, ряд Так здесь явно не соблюдено необходимое условие суммируемости по методу средних арифметических, то этот метод не приложим. В то же время ряд Имеет (при 0< x<1) сумму , которая при стремится к пределу . Это и есть “обобщенная сумма" нашего ряда по Пуассону-Абелю. Таким образом, метод Пуассона-Абеля является более мощным, то есть приложим в более широком классе случаев, чем метод Чезаро, но не противоречит ему в тех случаях, когда они оказываются приложимыми оба.
Теорема Харди-Ландау
Как и в случае Пуассона-Абеля, для метода Чезаро также могут быть доказаны теоремы “тауберовского” типа, устанавливающие те дополнительные условия относительно членов ряда, при наличии которых из суммируемости ряда по методу средних арифметических вытекает его сходимость в обычном смысле слова. Ввиду теоремы Фробениуса ясно, что каждая тауберовская теорема для метода Пуассона-Абеля приводит, в частности, к такой же теореме для метода Чезаро. Например, сама теорема Таубера перефразируется теперь так: если и выполняется условие (9) то одновременно и . Впрочем, здесь она непосредственно вытекает из легко проверяемого тождества
,
которое для данного случая указывает даже на необходимость условия (9). Харди установил, что заключение от к можно сделать не только, если , но и при более широком предположении, что
( ).
Ландау показал, что можно удовольствоваться даже “односторонним” выполнением этого соотношения; Теорема. Если ряд (А) суммируем к “сумме” А по методу средних арифметических и при этом выполняется условие ( ),то одновременно и .
[Изменяя знаки всех членов ряда, видим, что достаточно также предположить неравенство другого смысла:
.
В частности, теорема, очевидно приложима к рядам с членами постоянного знака. Доказательство. Для доказательства рассмотрим сначала сумму
,
где n и k - произвольные натуральные числа; путем тождественного преобразования она легко приводится к виду (10)
Если взять любое (при ), то используя предположенное неравенство , можно получить такую оценку снизу:
,
откуда, суммируя по m, найдем
.
Отсюда, сопоставляя с (10), приходим к такому неравенству:
. (11)
Станем теперь произвольно увеличивать п до бесконечности, а изменение k подчиним требованию, чтобы отношение стремилось к наперед заданному числу . Тогда правая часть неравенства (11) будет стремиться к пределу , так что для достаточно больших значений п будет . (12)
Совершенно аналогично, рассматривая сумму
и проведя для (при ) оценку сверху:
,
придем к неравенству
Отсюда
Если и одновременно , как и прежде (но на этот раз пусть ), то правая часть этого неравенства стремится к пределу
. Следовательно, для достаточно больших n окажется
. (13)
Сопоставляя (12) и (13), видим, что, действительно,
.
Теорема доказана.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (196)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |