Применение обобщенного суммирования к умножению рядов

Остановимся на применении обобщенных методов суммирования в вопросе об умножении рядов по правилу Коши. Пусть, кроме ряда (А), дан ещё ряд

 (В)

тогда ряд

 (С)

и называется произведением рядов (А) и (В) в форме Коши. Если данные ряды сходятся и имеют обыкновенные суммы А и В, то ряд (С) все же может оказаться расходящимся.

Однако во всех случаях ряд (С) суммируем по методу Пуассона-Абеля и именно к сумме АВ.

Действительно, для 0< x<1 ряд (1) равно как и ряд

оба абсолютно сходятся; обозначим их суммы, соответственно, через  и . Произведение этих рядов, то есть ряд

,

По классической теореме Коши также сходится и имеет суммой произведение * . Эта сумма при  стремится к АВ, ибо как мы видели, по отдельности

Итак, “обобщенной (в смысле Пуассона-Абеля) суммой” ряда (С) действительно будет АВ, что и требовалось доказать.

Отсюда как следствие получается теорема Абеля об умножении рядов. Равным образом из самого доказательства ясно, что то же заключение остается в силе, если ряды (А) и (В) - вместо того, чтобы сходиться в собственном смысле - лишь суммируемы по методу Пуассона-Абеля к суммам А и В.

В таком случае, учитывая теорему Фробениуса, можно сделать и следующее утверждение: если (А), (В) и (С) суммируемы в смысле Чезаро и имеют, соответственно, “обобщенные суммы" А, В и С, то необходимо С=АВ.

В качестве примера рассмотрим возведение в квадрат ряда

который получается из биномиального разложения

при х=1. умножая указанный числовой ряд на самого себя, придем к хорошо знакомому нам ряду

“обобщенная сумма" которого есть .

Далее, “возведем в квадрат" и этот расходящийся ряд. Мы получим ряд

 “обобщенная сумма" которого в смысле Пуассона-Абеля есть .

Глава 4. Другие методы обобщенного суммирования

Методы Г.Ф. Вороного

Пусть мы имеем положительную числовую последовательность  и

Из частичных сумм  ряда (А) составим выражения

Если  при  то А называется “обобщенной суммой” ряда (А) в смысле Вороного - при заданном выборе последовательности .

Теорема.

Для регулярности метода Вороного необходимо и достаточно условие.

Доказательство. Необходимость.

Допустим сначала регулярность рассматриваемого метода: пусть из  всегда следует и . Если, в частности, взять ряд  для которого  а прочие  (так что и ), то необходимо

Достаточность. Предположим теперь условие теоремы выполненным и докажем, что из  вытекает и .

Обратимся к теореме Теплица и заменим там  на  и  на  Условие (а) этой теоремы удовлетворено, ибо

Выполнение условий (б) и (в) очевидно, так как

Следовательно, как и требовалось доказать, .