Использование преобразования Лапласа для моделирования экономических процессов

Для синтеза модели используем математический аппарат, сущность которого представлена ниже. Показано, что это позволяет вполне адекватно моделировать деятельность и развитие большинства экономических (и не только) систем.

Если функционирование какой-либо системы может быть описано в виде линейного дифференциального или интегрального уравнения, например:

, m<n, (1.1)

где x(t) – функция входного, экзогенного воздействия на систему,

y(t) – функция выходного процесса или реакция системы на внешнее воздействие, тогда для дальнейшего изучения и анализа имеет смысл воспользоваться трансформацией данного уравнения с помощью преобразования Лапласа ввиду его замечательных свойств перевода дифференциальных и интегральных выражений в алгебраические.

Смысл преобразования Лапласа заключается в том, что оно переводит функцию времени f(t) в функцию частот F(s). Математически это записывается следующим образом:

и наоборот

,

где функцию f(t) называют оригиналом, а функцию F(s) – изображением.

Передаточная функция любой линейной системы может быть дизагрегирована на отдельные составляющие – звенья. Таким образом, каждому определенному экономическому процессу может быть сопоставлено звено определенного типа.

Пропорциональное (усилительное) звено

Примерами для моделирования в форме пропорциональных звеньев могут быть такие функции в хозяйственной деятельности, как переходы от оптовых цен на продукцию к розничным ценам, от потребностей в материалах в натуральном выражении к потребностям в денежном выражении и т. д. Формулы оригинала и изображения имеют вид

.

В этом случае передаточной функцией звена будет следующее соотношение:

,

где к – коэффициент усиления

Дифференцирующее и интегрирующее (накопительнное) звенья

Примером деятельности для моделирования в форме дифференцирующего звена может служить накопительный учет объема продаж в торговле, на основании которого выдается информация о текущей продаже за малые промежутки времени. Интегрирующим звеном может быть смоделировано, например, накопление производственных фондов в производственном процессе.

Оригинал и изображение уравнения дифференцирующего звена имеют вид

,

интегрирующего звена

.

Тогда передаточные функции:

  – дифферецирующего звена,

– интегрирующего звена.

Звенья запаздывания

Запаздывание реакции на внешние воздействия принципиально существует во всех объектах экономики, например, выпуск продукции по отношению к поступлению материалов в производство, ввод производственных фондов по отношению к выделению на них капиталовложений, принятие решений о заказах на товары в ответ на выявленный спрос и т. д. Для моделирования таких явлений в динамических системах часто применяют звенья дискретного запаздывания и инерционные звенья.

Звено дискретного запаздывания описывается формулой:

.

В этом случае графически оба процесса имеют одинаковый вид. Однако выходной процесс смещен на T единиц по оси времени вправо. Величина T называется лагом.

Инерционными звеньями называют такие, у которых реакция на входное воздействие запаздывает и форма выходного процесса не повторяет форму входного процесса как при дискретном запаздывании. Если входной процесс представляет собой поток материалов, энергии, денежных средств и т. д., то внутри звена накапливается определенное количество этих материально-вещественных элементов, равное разности входного и выходного процессов. Инерционными звеньями моделируют также реакцию покупателей в ответ на поступление товара в продажу, ввод основных производственных фондов, в ответ на капиталовложения и т. д.

Инерционное звено первого порядка описывается уравнением следующего вида:

.

Отсюда изображение процесса на выходе звена

,

где , .

Следовательно, передаточная функция инерционного звена

.

Оригинал этого уравнения представляет собой реакцию на импульс в виде дельта-функции . Оригинал имеет вид:

Изображение и оригинал реакции на единичную ступенчатую функцию запишутся в виде:

.

Своеобразие экономических объектов, моделируемых инерционными звеньями, состоит в том, что в них накапливается разность вещественных единиц, из которых состоят входной и выходной потоки. Обозначим накопленное количество единиц через . Тогда

,

где z₀=z(0) – количество накопленных единиц в нулевой момент времени. Таким образом, при любом экзогенном воздействии и начальном состоянии звена z₀ интенсивность (скорость, темп) выходного процесса инерционного звена пропорциональна текущему количеству накопленных единиц внутри звена. Коэффициент пропорциональности равен 1/T. Очевидно, что статистическое постоянство этого коэффициента в любых объектах экономики может служить признаком того, что динамической моделью объекта является инерционное звено.

Динамическая модель.

В этой главе будет рассмотрено взаимодействие интересующих нас субъектов в динамике с использованием математического аппарата преобразования Лапласа. Будут выведены ограничения на выделение помощи частным хозяйствам, при которых кооперативы не будут деградировать. Это пригодится нам в дальнейшем при синтезе математической модели, включающей в себя регламентирование отчислений в зависимости от распределения трудовых ресурсов.