Практическая работа №5

 Тема: Математические модели и методы в научных исследованиях. Целью работы является изучение математических моделей, основных этапов математического моделирования. Выбор структуры математической модели сложного объекта. Определяющие и второстепенные параметры модели. Аналитические зависимости, определяющие выходные характеристики объекта исследования как функции входных параметров. Учет внешних воздействий. Одно- и многомерные задачи. Методы имитационного моделирования.

Теоретические положения. В технических науках необходимо стремиться к применению математической формализации выдвинутых гипотез и выводов. Решение практических задач математическими методами последовательно осуществляется путем разработки математической модели, выбора метода проведения исследования полученной математической модели, анализа полученных результатов. Математическая формулировка задачи обычно представляется в виде чисел, функций, систем уравнений и т.д. Математическая модель представляет собой систему математических соотношений - формул, функций, уравнений, систем уравнений, описывающих те или иные стороны изучаемого объекта, явления, процесса. На этапе выбора типа математической модели при помощи анализа данных поискового эксперимента устанавливаются: линейность или нелинейность, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса. Установление общих характеристик объекта позволяет выбрать математический аппарат, на базе которого строится математическая модель. Выбор математического аппарата может быть осуществлен в соответствии со схемой, представленной на рисунке. Как видно из данной схемы, выбор математического аппарата не является однозначным и жестким. Для описания сложных объектов с большим количеством параметров возможно разбиение объекта на элементы (подсистемы), установление иерархии элементов и описание связей между ними на различных уровнях иерархии. Особое место на этапе выбора вида математической модели занимает описание преобразования входных сигналов в выходные характеристики объекта. Если на предыдущем этапе было установлено, что объект является статическим, то построение функциональной модели осуществляется при помощи алгебраических уравнений. При этом кроме простейших алгебраических зависимостей используются регрессионные модели и системы алгебраических уравнений. Если заранее известен характер изменения исследуемого показателя, то число возможных структур алгебраических моделей резко сокращается и предпочтение отдается той структуре, которая выражает наиболее общую закономерность или общеизвестный закон. Если характер изменения исследуемого показателя заранее неизвестен, то ставится поисковый эксперимент. Предпочтение отдается той математической формуле, которая дает наилучшее совпадение с данными поискового эксперимента. Результаты поискового эксперимента и априорный информационный массив позволяют установить схему взаимодействия объекта с внешней средой по соотношению входных и выходных величин. В принципе возможно установление четырех схем взаимодействия: Объект исследования

Детерминированный Вероятноястный

Динамический Нестационарный

Дифференциальные уравнения

Интегральные уравнения

Уравнения в частных производных

Теория автоматического управления

 Алгебра

Теория случайных процессов

Теория марковских  процессов

 Теория автоматов

Теория вероятностей

Теория информации

одномерно-одномерная схема - на объект воздействует только один фактор, а его поведение рассматривается по одному показателю (один выходной сигнал); одномерно-многомерная схема - на объект воздействует один фактор, а его поведение оценивается по нескольким показателям; многомерно-одномерная схема - на объект воздействует несколько факторов, а его поведение оценивается по одному показателю;

многомерно-многомерная схема - на объект воздействует множество факторов и его поведение оценивается по множеству показателей. Процесс выбора математической модели объекта заканчивается ее предварительным контролем. При этом осуществляются следующие виды контроля: размерностей; порядков; характера зависимостей; экстремальных ситуаций; граничных условий; математической замкнутости; физического смысла; устойчивости модели. 1. Контроль размерностей сводится к проверке левой и правой частей уравнений по размерности величин. 2. Контроль порядков направлен на упрощение модели. При этом определяются порядки величин, а малозначительные слагаемые отбрасываются. 3. Контроль характера зависимостей сводится к проверке изменения одних величин при изменении других и эти изменения должны соответствовать физическому смыслу задачи. 4. Контроль экстремальных ситуаций сводится к проверке смысла решения при приближении параметров модели к нулю или бесконечности. 5. Контроль граничных условий состоит в том, что проверяется соответствие математической модели граничным условиям, вытекающим из смысла задачи. Решения модели должны удовлетворять таким условиям. 6. Контроль математической замкнутости сводится к проверке того, что математическая модель дает однозначное решение. 7. Контроль физического смысла сводится к проверке физического содержания промежуточных соотношении, используемых при построении математической модели. 8. Контроль устойчивости модели состоит в проверке того, что варьирование исходных данных в рамках имеющихся данных о реальном объекте не приведет к существенному изменению решения. Важное место в математическом моделировании занимает метод имитационного моделирования. По Шеннону "имитационное моделирование - есть процесс конструирования на ЭВМ модели сложной реальной системы, функционирующей во времени, и постановки экспериментов на этой модели с целью либо понять поведение системы, либо оценить различные стратегии, обеспечивающие функционирование данной системы". Имитационное моделирование предполагает два этапа: конструирование модели на ЭВМ и проведение экспериментов с этой моделью. Цели имитационных экспериментов: понять поведение исследуемой системы (о которой по каким-либо причинам было мало информации); оценить возможные стратегии управления системой. С помощью имитационного моделирования исследуют сложные системы. Ниже приведены признаки "сложности" системы: наличие большого количества взаимосвязанных и взаимодействующих элементов; сложность функций, выполняемых системой; возможность разбиения системы на подсистемы (декомпозиции); наличие управления, часто имеющего иерархическую структуру; наличие взаимодействия с внешней средой и функционирование в условиях воздействия случайных (неопределенных) факторов. Методом имитационного моделирования исследуют системы, функционирующие в реальном масштабе времени. Наиболее характерными обстоятельствами применения имитационных моделей являются следующие случаи: идет процесс познания объекта моделирования; аналитические методы исследования имеются, но составляющие их математические процедуры очень сложны и трудоемки; необходимо осуществить наблюдение за поведением компонентов системы в течение определенного времени; необходимо контролировать протекание процессов в системе путем замедления или ускорения явлений в ходе имитации; имитационное моделирование оказывается единственным способом исследований из-за невозможности проведения реальных экспериментов. Итак, само использование термина "имитационное моделирование" предполагает работу с такими математическими моделями, с помощью которых результат исследуемой операции нельзя заранее вычислить или предсказать, поэтому необходим эксперимент (имитация) на модели при заданных исходных данных. Каждая имитационная модель представляет собой комбинацию шести основных составляющих: компонентов, параметров, переменных, функциональных зависимостей, ограничений, целевых функций. 1. Под компонентами понимают составные части, которые при соответствующем объединении образуют систему. Компоненты называют также элементами системы или ее подсистемами. 2. Параметры - это величины, которые исследователь (пользователь модели) может выбирать произвольно, т.е. управлять ими. 3. Переменные в отличие от параметров могут принимать только значения, определяемые видом данной функции.

Различают экзогенные (являющиеся для модели входными и порождаемые вне системы) и эндогенные (возникающие в системе в результате воздействия внутренних причин) переменные. Эндогенные переменные иногда называют переменными состояния. 4. Функциональные зависимости описывают поведение параметров и переменных в пределах компонента или же выражают соотношения между компонентами системы. Эти соотношения могут быть либо детерминированными, либо стохастическими. 5. Ограничения - устанавливаемые пределы изменения значений переменных или ограничивающие условия их изменения. Они могут вводиться разработчиком (искусственные) или определяться самой системой вследствие присущих ей свойств (естественные). 6. Целевая функция предназначена для измерения степени достижения системой желаемой (требуемой) цели и вынесения оценочного суждения по результатам моделирования. Эту функцию также называют функцией критерия. По сути, весь машинный эксперимент с имитационной моделью заключается в поиске таких стратегий управления системой, которые удовлетворяли бы одной из трех концепций ее рационального поведения: оптимизации, пригодности или адаптивизации. После того как имитационная модель реализована на ЭВМ, исследователь должен выполнить последовательность следующих этапов (их часто называют технологическими): испытание модели; исследование свойств модели; планирование имитационного эксперимента; эксплуатация модели (проведение расчетов). Испытание имитационной модели включает в себя следующее: 1. Задание исходной информации. Если моделируется функционирующая (существующая) система, проводят измерение характеристик ее функционирования и затем используют эти данные в качестве исходных при моделировании. Если моделируется проектируемая система, проводят измерения на прототипах. Если прототипов нет, используют экспертные оценки параметров и переменных модели, формализующих характеристики реальной системы. 2. Верификация имитационной модели. Она состоит в доказательстве утверждений соответствия алгоритма ее функционирования цели моделирования путем исследований реализованной программы модели. 3. Проверка адекватности модели. Количественную оценку адекватности модели объекту исследования проводят для случая, когда можно определить значения отклика системы в ходе натурных испытаний. Наиболее распространены три способа проверки: по средним значениям откликов модели и системы; по дисперсиям отклонений откликов; по максимальному значению абсолютных отклонений откликов. 4. Калибровка имитационной модели. К калибровке имитационной модели приступают в случае, когда модель оказывается неадекватной реальной системе. За счет калибровки иногда удается уменьшить неточности описания отдельных подсистем (элементов) реальной системы и тем самым повысить достоверность получаемых модельных результатов. В зависимости от диапазона изменения откликов при изменении каждой компоненты вектора параметров определяется стратегия планирования экспериментов на модели. Если при значительной амплитуде изменения некоторого компонента вектора параметров модели отклик меняется незначительно, то точность представления ее в модели не играет существенной роли. Проверка зависимости отклика модели от изменений параметров внешней среды основана на расчете соответствующих частных производных и их анализе.