Практическая работа №7

 Тема. Анализ полученных результатов.

Целью работы является сопоставление теоретических и экспериментальных результатов, анализ выполнения требований технического задания, оформление отчета Теоретические положения. Все материалы, полученные в процессе исследования, систематизируют и оформляют в виде научной работы. Этот документ содержит исчерпывающие сведения о выполненной работе. Структуру научно-исследовательской работы можно представить следующим образом: титульный лист; оглавление; введение; основная часть; заключение; список использованных источников (литературы); приложения. Титульный лист – это первая страница рукописи, на которой указаны полное наименование организации, где выполнена работа, фамилия, имя и отчество автора, заглавие, вид работы, ученая степень, ученое звание, фамилия, имя и отчество научного руководителя, место и год выполнения работы Оглавление раскрывает содержание работы путем обозначения глав, параграфов и других рубрик научной работы с указанием страниц, с которых они начинаются. Оно должно быть в начале работы. Названия глав и параграфов должно точно повторять соответствующие заголовки в тексте. Введение работы должно содержать оценку современного состояния решаемой научно-исследовательской проблемы, обоснование необходимости выполнения работы. Во введении должны быть показаны актуальность и новизна темы. Обычно объем введения не превышает 5-7% объема основного текста. Основная часть может состоять из нескольких глав, разбитых на параграфы. В них излагаются теоретические положения, проводится анализ, аргументируется свое мнение и т.д. В конце каждой главы делаются краткие выводы. Заключение должно содержать выводы по результатам выполненной научной работы и указание по возможности их внедрения. Объем заключения не должен превышать 5-7% объема основного текста. В список литературы включают только те источники, которые были использованы при написании и упомянуты в тексте. В приложение включаются таблицы, графики и другие вспомогательные материалы, которые загромождают основную часть работы и увеличивают ее объем. При подсчете объема научной работы приложения не учитываются. Деление текста на составные части с использование заголовков, нумерации и прочих средств называется рубрикацией. Система рубрик включает заголовки частей, разделов, глав и параграфов. Каждый из названных членов деления текста, в свою очередь, подразделяется на абзацы. Под абзацем понимается отступ вправо в начале первой строки определенной части текста. Обычно абзац состоит их нескольких предложений, связанных между собой определенной мыслью. Абзацы одного параграфа или главы должны быть также связаны по смыслу и расположены в логической последовательности. Рубрикация текста обычно связана с нумерацией числовым или буквенным обозначением последовательности расположения его составных частей. Для этого используются римские и арабские цифры, прописные и строчные буквы. Разделы, подразделы, пункты и подпункты следует нумеровать арабскими цифрами и записывать с абзацного отступа. Разделы должны иметь порядковую нумерацию в пределах всего текста. Главы нумеруют римскими цифрами. Авторы научных работ применяют различные способы написания текста: строго последовательный, когда автор переходит к следующему параграфу только после завершения предыдущего; целостный, когда пишется вся работа, а затем в нее вносятся исправления и дополнения, шлифуется текст; выборочный, когда автор пишет работу в том порядке, в каком ему удобно. Используются различные типы изложения материала: научной работы: описательный, когда необходимо дать характеристику исследуемого предмета или явления, описать его развитие, структуру, составляющие элементы и признаки; повествовательный, когда излагается материал в хронологическом порядке, с раскрытием причинно-следственных связей исследуемых предметов, вызвавших то или иное явление; объяснительный, доказывания и опровержения научных положений и выводов. Особенностью языка научной речи является логичность. Она характеризуется последовательным переходом от одной мысли к другой. В качестве средства связи между ними используются вводные слова и предложения; местоимения, прилагательные и причастия; специальные средства, указывающие на последовательность (прежде всего, затем, во-первых); причинно-следственные отношения (следовательно, поэтому) и т.д. Научный язык характеризуется стремлением к объективности изложения материала, направленного на установление истины. Для подтверждения объективности в тексте делается ссылка на то, кем высказана та или иная мысль, в каком источнике содержится использованная информация. С целью уменьшения объема текста используются следующие виды сокращений: буквенные аббревиатуры, которые составляются из начальных букв каждого слова, входящего в название; сложносокращенные слова, составляемые из усеченных слов; условные сокращения по начальным буквам и частям слова. при сокращении должно оставаться не менее двух букв, например: ст. – статья, см. – смотри. Сокращение слов до одной начальной буквы допускается только для общепринятых сокращений, например: г. – год. В качестве иллюстративного материала используются графики, диаграммы, схемы, таблицы. Иллюстрации должны быть расположены так, чтобы их было удобно рассматривать без поворота отчета или с поворотом по часовой стрелке. Иллюстрации располагают после первой ссылки на них, должны иметь наименование. При необходимости их снабжают поясняющими данными (подрисуночный текст). График – это условное изображение соотношения величин в их динамике при помощи геометрических фигур, линий и точек. График содержит заголовок, словесные пояснения, оси, шкалу с масштабами, числовые сетки, числовые данные, дополняющие или уточняющие величины нанесенных на график показателей. В зависимости от применяемых геометрических фигур графики могут быть линейными, столбиковыми, полосовыми, секторными. На графике может быть изображена динамика нескольких явлений. Тогда их кривые должны быть хорошо различаемы по цвету или форме. Если для построения графиков используются такие геометрические фигуры, как прямоугольники и круги, то их называют диаграммами. Столбиковые диаграммы строятся в системе прямоугольных координат. Основания столбиков одинаковой ширины помещают на оси абсцисс, а их высота отражает величину явлений. Полосовые диаграммы отличаются от столбиковых тем, что прямоугольники в них расположены не вертикально, а горизонтально (полосками). Секторная диаграмма представляет собой круг, разделенный на секторы, каждый из которых занимает площадь круга, соответствующую величине отражаемого явления. Схема – это изображение чего-нибудь с помощью условных изображений. Зачастую они вычерчиваются в виде прямоугольников или иных геометрических фигур с линиями-связями. Таблицы. Цифровой материал, как правило, должен оформляться в виде таблиц. Каждая таблица должна иметь заголовок. Заголовок и слово "Таблица" начинают с прописной буквы. Заголовок не подчеркивают. Заголовки граф таблиц должны начинаться с прописных букв, подзаголовки — со строчных, если они составляют одно предложение с заголовком, и с прописных, если они самостоятельные. Делить головки таблицы по диагонали не допускается. Высота строк должна быть не менее 8 мм. Графу "№ п. п." в таблицу включать не следует. Таблицу размещают после первого упоминания о ней в тексте таким образом, чтобы ее можно было читать без поворота работы или с поворотом по часовой стрелке. Таблицу с большим количеством строк допускается переносить на другой лист. При переносе таблицы на другой лист (страницу) заголовок помещают только над ее первой частью. Таблицу с большим количеством граф допускается делить на части и помещать одну часть под другой в пределах одной страницы. Если строки или графы таблицы выходят за формат таблицы, то в первом случае в каждой части таблицы повторяется ее головка, во втором случае — боковик. Если повторяющийся в графе таблицы текст состоит их одного слова, его допускается заменять кавычками; если из двух или более слов, то при первом повторении его заменяют словами "То же", а далее — кавычками. Ставить кавычки вместо повторяющихся цифр, марок, знаков, математических и химических символов не допускается. Если цифровые или иные данные в какой-либо строке таблицы не приводят, то в ней ставят прочерк.

Формулы. Пояснение значений символов и числовых коэффициентов следует приводить непосредственно под формулой в той же последовательности, в какой они даны в формуле. Значение каждого символа и числового коэффициента следует давать с новой строки. Первую строку объяснения начинают со слова "где" без двоеточия. Уравнения и формулы следует выделять из текста свободными строками. Выше и ниже каждой формулы должно быть оставлено не менее одной свободной строки. Если уравнение не умещается в одну строку, оно должно быть перенесено после знака равенства (=) или после знаков (+), минус (-), умножение (х) и деление (:). Ссылки в тексте на литературные источники допускается приводить в подстрочном примечании или указывать порядковый номер по списку источников, выделенный двумя косыми чертами. Ссылки на иллюстрации указывают порядковым номером иллюстрации. Ссылки на формулы указывают порядковым номером формулы в скобках, например "... в формуле (2.1)". На все таблицы должны быть ссылки в тексте, при этом слово "Таблица" в тексте пишут полностью, если таблица не имеет номера, и сокращенно — если имеет номер, например: "... в табл. 1.2). В повторных ссылках на таблицы и иллюстрации следует указывать сокращенно слово "смотри", например: см. табл. 1.3".

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ Задание 1. Содержание задания представляет собой пример оптимизации параметров технических объектов. Оптимизация проводится на однофакторной модели технического объекта, характеризующегося одним входным х и одним выходным у параметрами. Решение задачи сводится к поиску экстремума функции одной переменной у = G(х), заданной аналитически. Вид функции G(х) выбирается из табл.1. Оптимизация проводится известным из курса математики методом. Сначала самостоятельно вычисляется первая производная функции G(х), назовем ее f(x), а затем решается уравнение f ( x ) = G ′( x) = 0 .                    (1) В практических задачах оптимизации параметров технических объектов часто оказывается, что уравнение (1) не имеет аналитического решения. Можно убедиться в том, что полученное им уравнение относится к этому классу. Для решения таких уравнений используются численные или итерационные методы: метод половинного деления, метод последовательных приближений, метод Ньютона и метод градиентного спуска. Необходимо получить решение уравнения (1) не менее чем тремя перечисленными методами. Таблица 1 Вариант у = G (х) f (х)= G' (х) Интервал значений для поиска экстремума 0 x2 − sin x Найти самостоятельно −∞<x<∞ 1 20 sin x − x 0< x<∞ 2 3x ln x − x 2 0< x<∞ 3 ln x − 2 cos x 0< x<∞ 4 √(x +1) − x2 0< x<∞ 5 x5/5 + 3x2/2 – 20х −∞<x<∞ 6 x5/5 - 3x2/2 + х −∞<x<∞ 7 x4/4 - 3x2/2 + 5х −∞<x<∞ 8 x4/4 - 3x2/2 + 5х −∞<x<∞ 9 x 2 − x − cos x −∞<x<∞

Перед началом численного решения необходимо провести операцию так называемого "отделения корней", то есть определить интервалы значений х, в которых находится только по одному корню уравнения (1). Для реализации этой процедуры можно использовать любой доступный метод, например качественное построение графика функции f(x). Также можно произвести расчет значений функции f(x) в нескольких точках для определения интервала, на котором функция меняет знак. При численном решении уравнения (1) в качестве критерия остановки решения можно использовать одно из следующих условий: - ограничение на число итераций: n ≤ Nmax; - приближение функции к нулю с заданной точностью: |f(x) |< ε ; - достаточно малое изменение аргумента между двумя соседними итерациями: |xn+1 – xn |< ε . Здесь использованы следующие обозначения: n - номер текущей итерации, Nmax - максимальное число итераций, заданное до начала решения, ε - малое положительное число, заданное до начала решения, xn+1 и xn – текущие значения переменной (n+1)-м на и n-м шагах решения. Численное решение уравнения (1) проводится на ЭВМ в компьютерном классе во время практических занятий или самостоятельно на персональном компьютере. При этом рекомендуется использовать стандартную программу Excel (также может быть использован любой известный язык программирования). Допускается проведение необходимых расчетов с помощью калькулятора. По результатам решения необходимо сравнить реализованные методы с точки зрения требований к качеству начального приближения и по скорости сходимости.

Задание 2. Содержание задания представляет собой пример решения задачи аппроксимации экспериментальных данных. В табл.2 приведены результаты измерений некоторой физической величины αi при различных значениях входного параметра хi, i = 1 ... 5. Таблица 2 i 1 2 3 4 5 xi –2 –1 0 1 2 αi –1 1 2 0 –2 yi     

По заданным значениям αi вычисляются значения величины yi в соответствии с вариантом задания по формуле yi = [( A + 1)α i + B] /2 , где A – последняя цифра, B – предпоследняя цифра задания. Таким образом, заполняется нижняя строка табл.2 и получается пять пар значений (хi, yi), i = 1 . . . 5. Полученные пять точек с координатами (хi, yi) наносятся на плоскость хоу. Сущность задачи аппроксимации состоит в том, чтобы подобрать функцию ya(x), которая наилучшим образом отражала бы реально существующую зависимость y(x). Процедура аппроксимации включает два этапа: - выбор типа аппроксимирующей функции (это может быть многочлен степени n, в частности при n=1 и n=2 это соответственно прямая и парабола, экспонента, синусоида, гипербола, логарифмическая функция и другие функции); - выбор параметров аппроксимирующей функции (коэффициентов многочлена, показателя экспоненты, амплитуды, частоты и фазы синусоиды и т.д.), обеспечивающих наилучшее приближение аппроксимирующей функции к исходным данным. При этом обязательно должен быть заранее сформулирован критерий оценки качества приближения, то есть определено понятие "наилучшее приближение". Одним из возможных типов аппроксимирующей функции является многочлен n-го порядка Pn(x), предложенный французским математиком Лагранжем в виде суммы (n+1) слагаемых: Pn ( x ) = y1[(x − x 2 )(x − x3 )⋅ ... ⋅ (x − x n +1 )]/[(x1 − x 2 )(x1 − x3 )⋅ ... ⋅ (x1 − x n +1 )] + y2[(x − x1 )(x − x 3 )⋅ ... ⋅ (x − x n +1 )]/[ (x2 − x 1 )(x2 − x3 )⋅ ... ⋅ (x1 − x n +1 )] + ... + y n+1[ (x − x1 )(x − x2 )⋅ ...⋅ (x − xn )]/[ (xn+1 − x1 )(xn+1 − x2 )⋅ ...⋅ (xn+1 − xn ) (2) Функция Pn(x) такова, что ее значения во всех точках xi совпадают со значениями yi. Или, другими словами, график функции Pn(x) проходит через все исходные точки (хi, yi) – так называемые "узлы аппроксимации".

Исходя из ряда практических соображений, целесообразно ограничить степень многочлена Pn(x), приняв, например, n =2:

y а ( x ) = P2 ( x ) = y1[(x − x 2 )(x − x3 )]/[ (x1 − x 2 )(x1 − x3 )] + y2[(x − x1 )(x − x3 )]/[(x 2 − x1 )(x 2 − x3 )+ y3[ (x − x1 )(x − x 2 )]/[(x3 − x1 )(x3 − x 2 )] . (3)

В этом случае график функции Pn(x) пройдет только через три из пяти точек, заданных в табл.2. При проведении аппроксимации методом Лагранжа необходимо: 1. Разумно выбрать три узла аппроксимации xk, k = 1,2,3 из пяти возможных узлов xi, i = 1…5 (i не обязательно равно k) и провести вычисления по формуле (3). В результате получится многочлен второй степени в виде

y а ( x ) = a 2 x 2 + a1 x + a 0 ,                                  (4)

где a2, a1, a0 - коэффициенты многочлена, определенные в результате расчетов по формуле (3). 2. Построить график функции ya(x) – параболу, которая должна обязательно пройти через три выбранных узла аппроксимации. Две неучтенные при аппроксимации исходные точки не окажутся в общем случае на линии параболы. 3. Для оценки качества аппроксимации вычислить среднеквадратическое отклонение σ значений аппроксимирующей функции yai от измеренных значений yi

σ = √(V/5), где V =∑ (y i − yаi )2 = ∑ (y i − a 2 x i2 − a1 x i − a 0)2 (5)

В (5) три слагаемых из пяти должны быть равны нулю. Далее переходим к аппроксимации экспериментальных данных методом наименьших квадратов. При этом тип аппроксимирующей функции попрежнему парабола, а ее коэффициенты должны быть выбраны по критерию минимума суммы квадратов отклонений V

V (a 2 , a 1 , a 0 ) = ∑ y i − a 2 x i2 − a 1 x i − a 0 ) 2 → min

Требуемый минимум имеет место при равенстве нулю всех частных производных функции V , то есть при ∂V / ∂aj = 0, j =0, 1, 2

∂V / ∂a0 = ∑ (yi − a0 − a1 xi − a2 xi2 )= 0 ∂V / ∂a1 = ∑ (yi хi− a0 xi − a1 xi2 – a2 xi3)= 0 ∂V / ∂a2 = ∑ (yi хi2− a0 xi2 − a1 xi3 – a2 xi4)= 0                  (6)

Преобразуем систему уравнений (6) к стандартному виду:

5a0 + a1 ∑ xi + = ∑ yi

 a0 ∑ xi + a1 ∑ x i2 + a2 ∑ x i3= ∑ xi yi a0 ∑ xi2 + a1 ∑ x i3 + a2 ∑ x i4= ∑ xi2 yi  

Необходимо вычислить коэффициенты (суммы по i) при неизвестных a2, a1, a0 и решить систему (7). При решении можно использовать любой известный метод, в том числе метод Крамера, основанный на вычислении определителей системы, или метод Гаусса, основанный на преобразованиях расширенной матрицы системы. Далее необходимо вычислить значения полученной аппроксимирующей функции y а ( x ) = a 2 x2 + a1 x + a 0 в точках xi, построить ее график и определить качество аппроксимации по формуле (5). При этом в общем случае ни одна из исходных точек может не попасть на линию параболы. Если вычисления проведены правильно, то качество аппроксимации методом наименьших квадратов по критерию (5) должно быть выше, чем при аппроксимации методом Лагранжа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Основы исследовательской деятельности: уч. пособие / С.А. Петрова, И.А. Ясинская. М.: ФОРУМ, 2010. – 208 с.

 2. Кожухар В.М. Основы научных исследований: учебное пособие / В.М. Кожухар. - М. Издательско-торговая корпорация «Дашков и К». 2010. – 2016 с.,