Решение задачи методом наименьших квадратов

 

Предприятие потребляет некоторый ресурс X (един. в месяц) и выпускает продукцию, которую продает и получает доход Y (денежных един. в месяц).

Этот процесс продолжается в течении 10 месяцев. Значения X и Y приведены в таблице 3. Необходимо построить линейную модель зависимости Y от X методом наименьших квадратов. Решение проиллюстрировать графически. Сделать выводы экономического характера с использованием полученной модели.

Решение

 

19	Xi	23	7	31	6	11	20	17	12	4	19
	Yi	26	3	22	4	24	32	11	8	16	7

 

Зависимость между X и Y будем искать в виде _x = a + bx. Параметры a и b модели найдем по методу наименьших квадратов из системы:

 

 

Вспомогательные вычисления соберем в таблицу:

 

i	xi	yi	xiyi	xi2	yi2	y(x)
1	23	26	598	529	676	20,3488
2	7	3	21	49	9	10,2512
3	31	22	682	961	484	25,3976
4	6	4	24	36	16	9,6201
5	11	24	264	121	576	12,7756
6	20	32	640	400	1024	18,4555
7	17	11	187	289	121	16,5622
8	12	8	96	144	64	13,4067
9	4	16	64	16	256	8,3579
10	19	7	133	361	49	17,8244
Σ =	150	153	2709	2906	3275

 

Из таблицы имеем:

 

= 150 / 10 = 15; = 153 / 10 = 15,3;

= 2709 / 10 = 270,9; = 2906 / 10 = 290,6;

= 3275 / 10 = 327,5.

 

По формуле Крамера

b =  =  = 0,6311.

 

Из первого уравнения

 

a =  - b · = 15,3 - 0,6311 · 15 = 5,8335.

 

Итак, уравнение прямой линии регрессии Y на Х:

_x = 5,8335 + 0,6311х.

Коэффициент b = 0,6311 означает, что при потреблении 1 единицы ресурса доход предприятия от продажи единицы продукции составляет 0,6311 денежных единицы. Коэффициент а = 5,8335 численно равен гипотетической прибыли при отсутствии потребления ресурса.

Построим корреляционное поле и график _x = 5,8335 + 0,6311х.

 

 

Вычислим коэффициент корреляции:

r =  =  = 0,5289;

 

коэффициент детерминации:

r² = 0,5289² = 0,2797.

Поэтому 27,97% рассеивания зависимой переменной Y объясняется линейной регрессией Y на Х, а 72,03% рассеивания Y остались необъясненными. Эта доля рассеяния Y может быть вызвана либо случайными ошибками эксперимента, либо тем, что линейная модель не достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными.

 

Список использованной литературы

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 1986.

2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. - М.: ДИС, 1997.

.   Левин М.И., Макаров В.Л., Рубинов А.М. Математические модели экономических взаимодействия. - М.: Наука, 1993.

.   Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. Математические методы и модели экономике. - Мн.: ТетраСистемс, 2002.

.   Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика. Математическое программирование. - Мн.: Вышэйшая школа, 1994.

.   Кузнецов А.В. Руководство по решению задач по математическому программированию. - Мн.: Вышэйшая школа, 1978.

7. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Мат. программирование: Учеб. пособие / А.В. Кузнецов, В.А. Сакович, Н.И. Холод и др.; Под общ. ред. А.В. Кузнецова, Р.А. Рутковского. - 2-е изд., перераб. и доп. - Мн.: Выш. шк., 2002. - 487 с.: ил.

8. Справочник по математике для экономистов / В.Е. Барбаумов, В.И. Ермаков, Н.Н. Кривенцова и др.; Под ред. В.И. Ермакова. - М.: Высш. шк., 1987. - 336 с.: ил.

.   Черняк А.А., Новиков В.А., Мельников О.И., Кузнецов А.В. Высшая математика на базе MathCAD / Учебное пособие. - Мн.: МИТСО, 2003. - 272 с.

.   Экономико-математические методы и модели: Учебно-методическое пособие для студентов экономических вузов / В.Н. Тюнянов, Н.Г. Кохан. - Гомель: ГФ УО ФПБ «МИТСО», 2003. - 76 с.