Теоретические сведения

 

Явление сверхпроводимости состоит в том, что при некоторой температуре, близкой к абсолютному нулю, электросопротивление в некоторых материалах исчезает. Эта температура называется критической температурой перехода в сверхпроводящее состояние.

Джозефсоновский контакт представляет собой систему, состоящую из двух сверхпроводников, разделенных тонкой диэлектрической прослойкой (рис.1). Носителями тока в сверхпроводнике являются так называемые куперовские пары [1].

 

Рис.1.

 

Движение куперовских пар, как и носителей тока в любых несверхпроводящих веществах, подчиняется квантовым законам. Так, в случае слабовзаимодействующих частиц в пренебрежении спиновыми эффектами, это движение можно описать обычным нестационарным уравнением Шредингера

 

 (1)

 

где ψ - комплексная волновая функция данной частицы,

 

 (2)

 

а Н - оператор Гамильтона. Согласно основам квантовой механики, модуль волновой функции пропорционален корню из плотности частиц. В стационарном состоянии, когда энергия Е частицы не меняется во времени, |ψ| можно считать постоянным во времени, а Н заменить на Е. В итоге уравнение (1) приобретает вид

 

 (3)

 

так что специфика квантовомеханического описания фактически сводится к своеобразному закону изменения во времени фазы волновой функции частицы.

Куперовская пара в сверхпроводнике представляет собой связанное состояние двух электронов с противоположными спинами и импульсами и, следовательно, имеет нулевой суммарный спин. Такие пары подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и "конденсируются" на одном нижнем энергетическом уровне. Поэтому скорости движения фаз куперовских пар точно совпадают.

Вторая характерная особенность куперовских пар - их относительно большой размер, намного превышающий среднее расстояние между парами. В результате, волновые функции куперовских пар сильно перекрыты; пары "синхронизируются", т.е. не только скорости движения, но и их фазы в каждой точке становятся равными друг другу.

Таким образом, совокупность куперовских пар, или "конденсат", является когерентной, т.е. описывается единой волновой функцией ψ. В этом случае макроскопические величины, и в частности ток, могут явно зависеть от фазы χ единой волновой функции конденсата, так как эта зависимость не выпадает при суммировании по частицам.

Единственным существенным требованием к джозефсоновскому контакту является малость его длины d, т.е. расстояния между двумя ближайшими точками электродов (d см). Если это условие выполнено, то ток I, текущий через слабый контакт, содержит "сверхток" I_s, который является функцией не от напряжения V, а от разности фаз

 

 (4)

 

где  - фазы волновых функций сверхпроводящего конденсата электродов.

Зависимость I _s строго 2π-периодична и в простейшем случае имеет вид

 

 (5)

 

где I _c - некоторая константа (существенно зависящая от физической природы и размеров слабой связи), обычно называемая критическим током джозефсоновского перехода. Эта константа положительна, если считать ток положительным при его направлении от электрода 1 к электроду 2 (см. рис.1). Сама величина φ зависит от напряжения по закону

 

 (6)

 

который содержит лишь фундаментальные физические постоянные ћ и е ( Дж/Гц,  Кл).

Но в большинстве задач, связанных с динамикой джозефсоновского перехода, необходимо учитывать не только сверхток, но и другие компоненты тока через контакт. Рассмотрим их подробнее.

1. Нормальный ток I_N. Если температура сверхпроводника Т не равна нулю, то энергия kT ( Дж/К - постоянная Больцмана) теплового движения вызывает разрыв некоторого числа куперовских пар и появление в образце некоторого количества неспаренных электронов. В теории сверхпроводимости такие электроны называют квазичастицами, поскольку их свойства отличаются от свойств электронов нормального металла из-за присутствия конденсата.

Если напряжение на переходе равно нулю, то квазичастицы не дают вклада в ток. Однако, если фаза φ меняется во времени, и напряжение отлично от нуля, то в токе появляется квазичастичная компонента.

Если температура Т стремится снизу к критической температуре сверхпроводника Т _c , то энергия связи куперовской пары стремится к нулю и становится существенно меньше тепловой энергии kT. При этом концентрация куперовских пар относительно мала, а концентрация квазичастиц (а также их свойства) такая же, как в нормальном металле. В этом случае зависимость нормального тока от напряжения при Т≈Т _c близка к омической:

 

 (7)

 

где G_N =1/ R_{N -} нормальная проводимость джозефсоновского перехода

2. В случае, если не только напряжение V, но и производная dV / dt отличны от нуля, становится существенным ток смещения, который обычно можно представить в виде

 

 (8)

 

где С - емкость между электродами джозефсоновского перехода. Хотя ток I _D и не протекает реально через слабый контакт, для внешней системы, в которую включен джозефсоновский переход, этот ток эффективно складывается с другими компонентами тока.

Величина емкости С значительно различается не только для разных типов переходов, но и существенно зависит от размеров контакта. Поэтому ее часто удобно характеризовать не абсолютным значением, а безразмерным параметром (параметром Маккамбера - Стюарта), показывающим силу ее влияния на процессы в переходе:

 

 (9)

 

Если β<<1, то говорят о джозефсоновских переходах с малой емкостью или большим затуханием, а если β>>1 - о переходах с большой емкостью или малым затуханием.

3. Джозефсоновский контакт отличается высокой чувствительностью к флуктуациям, поэтому их необходимо учитывать при решении многих задач. С нормальным током связаны флуктуации двух типов: тепловые и дробовые. Для тепловых флуктуаций выражение для спектральной плотности дается формулой Найквиста:

 

 (10)

 

справедливой при ћω, eV << kT.

Силу воздействия тепловых флуктуаций на переход можно характеризовать величиной

 

 (11)

 

Таким образом, если критический ток контакта существенно превышает величину I_T (равную ~0,3 мкА при типичной рабочей температуре Т≈4,2 К), то влияние тепловых флуктуаций на переход можно считать малым.

Если напряжение на контакте становится достаточно большим, и eV превышает kT, существенными становятся дробовые флуктуации, связанные с дискретностью заряда квазичастиц. При больших напряжениях они описываются формулой Шоттки

 

 (12)

 

справедливой при условии ћω, kT ≤ eV .

Таким образом, выражение для полного тока через контакт имеет следующий вид:

 

 (13)

 

Введем определения плазменной ω_р и характерной ω_с частот:

 

 (14),  (15)

 

Используя (14) и (15), равенство (13) удобно переписать в виде

 

 (16)

 

где i=I/I _C - безразмерный ток. Что касается флуктуационного тока I_F, то в данной модели, которая называется резистивной (R_N=const), он обычно считается тепловым белым гауссовским шумом со следующими характеристиками:

 

 (17)

 

где  - безразмерная интенсивность шума.

Точечный джозефсоновский контакт с малой емкостью хорошо описывается уравнением Ланжевена [2]

 

 (18)

 

где U ( φ ) =1- cosφ - iφ - безразмерный потенциальный профиль (рис.2), i=I/I_С - безразмерный ток, ω_С - характерная частота контакта (15), i_F =I _F / I_C - безразмерный флуктуационный ток (17).

 

Рис.2. Безразмерный потенциальный профиль: пунктирная линия - i =0.5; сплошная линия - i =1.2.