Числовые характеристики Платоновых тел.
Основными числовыми характеристиками Платоновых тел является число сторон грани m, число граней n, сходящихся в каждой вершине, число граней Г, число вершин В, число ребер Р и число плоских углов У на поверхности многогранника (табл. 1).
Таблица 1. Числовые характеристики Платоновых тел. Рассматривая табл. 1, зададимся вопросом: «нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбцах граней, вершин и ребер?» По-видимому, нет. Вот в столбце «грани» все сначала пошло хорошо (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), а потом намеченная закономерность «провалилась» (8 + 2 ). В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания. Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12). В столбце «ребра» закономерности тоже не видно. Мы сравнивали числа внутри одного столбца. Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и «вершины» (Г + В). Сравним новую таблицу своих подсчетов (см. табл. 2).
Таблица 2
Вот теперь закономерность видна. Сформулируем ее так: «Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2»: Г + В = Р + 2. Итак, получена формула, которая была подмечена уже Декартом в 1640 году, а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников. Итак, получена формула, которая была подмечена уже Декартом в 1640 году, а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников. Элементы симметрии: Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии. Радиус описанной сферы: ,
Радиус вписанной сферы: , Площадь поверхности: , Объем тетраэдра: . Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии. Радиус описанной сферы: , Радиус вписанной сферы: ,
Площадь поверхности куба: S=a², Объем куба: V=a³. Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии. Радиус описанной сферы: , Радиус вписанной сферы: , Площадь поверхности: , Объем октаэдра: . Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии. Радиус описанной сферы: , Радиус вписанной сферы: , Площадь поверхности: , Объем икосаэдра: . Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии. Радиус описанной сферы: , Радиус вписанной сферы: , Площадь поверхности: ,
Объем додекаэдра: . Теория Кеплера. В Европе в XYI – XYII вв. жил и творил замечательный немецкий астроном, математик и великий фантазер Иоганн Кеплер (1571-1630).
Кеплер действительно выступал в науке как астроном, математик и фантазер. Если бы в нем не было хотя бы одного из названных качеств, то он не смог бы достичь таких высот в науке. На основе обобщения данных, полученных в результате наблюдений, он установил три закона движения планет относительно Солнца. Первый закон: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Второй закон: каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причем площадь сектора орбиты, описанная радиус-вектором, изменяется пропорционально времени. Третий закон: квадраты времени обращения планеты вокруг Солнца относятся, как кубы их средних расстояний от Солнца. Но это были только гипотезы, пока их не объяснил и уточнил на основе закона всемирного тяготения Исаак Ньютон (1643-1727), создавший теорию движения небесных тел, которая доказала свою жизнеспособность тем, что с ее помощью люди научились предсказывать многие небесные явления. Но представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы–столбики цифр. Это результаты наблюдений – как его собственных, так и великих предшественников-астрономов. В этом море вычислительной работы человек хочет найти некоторую закономерность. Что поддерживает его в таком грандиозном замысле? Во-первых, вера в гармонию, уверенность в том, что мироздание устроено закономерно, а значит, законы его устройства можно обнаружить. А во-вторых, фантазия в сочетании с терпением и честностью. В самом деле, ну надо же от чего-то оттолкнуться! Искомые законы надо сначала придумать в собственной голове, а потом проверять их наблюдениями. Сначала Кеплера соблазнила мысль о том, что существует всего, пять правильных многогранников и всего шесть (как казалось тогда) планет Солнечной системы: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн. Показалось, что гармония мира и любовь природы к повторениям сделали правильные многогранники связующими звеньями между шестью небесными телами. Кеплер предположил, что сферы планет связаны между собой вписанными в них Платоновыми телами. Так как для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором располагается Солнце.
Кеплер выполнил огромную вычислительную работу, чтобы подтвердить свои предположения. В 1596 году он выпустил книгу, в которой они были изложены. Согласно этим предположениям, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В нее, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (438)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |