Архимед (287 г. до н.э. – 212 г. до н.э)

Множество Архимедовых тел можно разбить на несколько групп. Первую из них составляют пять многогранников, которые получаются из Платоновых тел в результате их усечения. Усеченное тело – это тело с отрезанной верхушкой. Для Платоновых тел усечение может быть сделано таким образом, что и получающиеся новые грани и остающиеся части старых будут правильными многоугольниками. Таким путем могут быть получены пять Архимедовых тел: усеченный тетраэдр, усеченный гексаэдр (куб), усеченный октаэдр, усеченный додекаэдр и усеченный икосаэдр (Рис. 2).

(а)	(б)	(в)

(г)	(д)

Рисунок 2. Архимедовы тела: (а) усеченный тетраэдр, (б) усеченный куб, (в) усеченный октаэдр, (г) усеченный додекаэдр, (д) усеченный икосаэдр

В своей Нобелевской лекции американский ученый Смолли, один из авторов экспериментального открытия фуллеренов, говорит об Архимеде (287-212 гг. до н.э.) как о первом исследователе усеченных многогранников, в частности, усеченного икосаэдра, правда, оговариваясь, что возможно Архимед присваивает себе эту заслугу и, возможно, икосаэдры усекали задолго до него. Достаточно упомянуть найденные в Шотландии и датированные около 2000 г. до н.э. сотни каменных предметов (по всей видимости, ритуального назначения) в форме сфер и различных многогранников (тел, ограниченных со всех сторон плоскими гранями), включая икосаэдры и додекаэдры. Оригинальная работа Архимеда, к сожалению, не сохранилась, и ее результаты дошли до нас, что называется, «из вторых рук». Во времена Возрождения все Архимедовы тела одно за другим были «открыты» заново. В конце концов, Кеплер в 1619 г. в своей книге «Мировая гармония» («Harmonice Mundi») дал исчерпывающее описание всего набора архимедовых тел — многогранников, каждая грань которых представляет собой правильный многоугольник, а все вершины находятся в эквивалентном положении (как атомы углерода в молекуле С₆₀). Архимедовы тела состоят не менее, чем из двух различных типов многоугольников, в отличие от 5 Платоновых тел, все грани которых одинаковы (как в молекуле С₂₀, например).

Рисунок 3. Конструирование Архимедового усеченного икосаэдра
из Платонового икосаэдра

Итак, как же сконструировать Архимедов усеченный икосаэдр из Платонова икосаэдра? Ответ иллюстрируется с помощью рис. 3. Действительно, как видно из Табл. 1, в любой из 12 вершин икосаэдра сходятся 5 граней. Если у каждой вершины отрезать (отсечь) 12 частей икосаэдра плоскостью, то образуется 12 новых пятиугольных граней. Вместе с уже имеющимися 20 гранями, превратившимися после такого отсечения из треугольных в шестиугольные, они составят 32 грани усеченного икосаэдра. При этом ребер будет 90, а вершин 60.