Свойства компактных операторов
1. Из определения компактного оператора и ограниченности относительно компактного множества следует, что любой линейный компактной оператор является ограниченным, следовательно, непрерывным. 2. Если – компактный оператор, – ограниченный, то операторы и – компактные. Доказательство. Если множество ограничено, то множество тоже ограничено. Следовательно, множество относительно компактно, а это и означает, что оператор вполне непрерывен. Далее, если ограничено, то относительно компактно, а тогда в силу непрерывности множество тоже относительно компактно, то есть оператор вполне непрерывен. Теорема доказана. ([1], стр.241). 3. Если операторы и компактные, действующие из нормированного пространства в нормированное пространство и – любые числа, то оператор также компактен. Доказательство. Пусть множество ограничено. В его образе возьмем произвольную последовательность элементов . Тогда существуют , при которых . Положим . При этом . Так как множество компактно, а , то существует подпоследовательность , имеющая предел. Аналогично в компактном множестве из последовательности можно выделить подпоследовательность , имеющую предел. Но так как вместе с сходится и последовательность , то существует , что и доказывает компактность множества , а, следовательно, оператор компактен. ([2], стр.306). 4. Если – последовательность компактных операторов в банаховом пространстве , сходящаяся по норме к некоторому оператору , то оператор тоже компактен. Доказательство. Для установления компактности оператора достаточно показать, что, какова бы ни была ограниченная последовательность элементов из , из последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Так как оператор компактен, то из последовательности. можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Пусть (2) – такая подпоследовательность, что сходится. Рассмотрим теперь последовательность . Из неё тоже можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Пусть такая подпоследовательность выбранная из (2), что сходится. При этом, очевидно, что тоже сходится. Рассуждая аналогично, выберем из последовательности такую подпоследовательность , что сходится и т.д. Затем возьмем диагональную последовательность . Каждый из операторов переводит её в сходящуюся. Покажем, что и оператор тоже переводит её в сходящуюся. Тем самым мы покажем, что компактен. Так как пространство полно, то достаточно показать, что – фундаментальная последовательность. Имеем . Пусть , выберем сначала так, что , а потом выберем такое , чтобы при всех и выполнялось неравенство (это возможно, так как последовательность сходится). При этих условиях из предпоследнего неравенства получаем, что для всех достаточно больших и . Таким образом свойство доказано. ([1], стр. 239). 5. Оператор, сопряженный компактному оператору, компактен ([1], стр.241).
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (169)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |