Примеры компактных операторов.
1.Простейшим примером компактного оператора является одномерный линейный оператор вида: , где – фиксированный элемент из пространства , а – фиксированный линейный функционал из пространства , которое является банаховым пространством. 2.Рассмотрим в пространстве оператор , преобразующий в себя и задаваемый бесконечной системой равенств при условии, что двойной ряд сходится. Такой оператор линеен и норма . Докажем что он компактен. Введем матричные линейные операторы в пространстве , определяемые матрицами , следующим образом: , где при , и при . Иными словами, матрица получается из матрицы , если элементы всех строк , начиная с , заменить нулями. Отсюда вытекает, что, если , то, каков бы ни был элемент , будет при . Следовательно, совокупность значений каждого из операторов конечномерна, а потому операторы вполне непрерывны. Представим разность с помощью матрицы. Из оценки видно, что . Следовательно, оператор компактен. ([2], стр. 307). 3. В пространстве непрерывных функций важный класс компактных операторов образуют операторы вида: (3), где функция непрерывна на квадрате . Покажем справедливость следующего утверждения: если функция непрерывна на квадрате , то формула (3) определяет в пространстве компактный оператор. Действительно, в указанных условиях интеграл (3) существует для любого из , то есть функция определена. Пусть . На квадрате функция равномерно непрерывна по теореме Кантора, т.к. она непрерывна на замкнутом и ограниченном множестве в . Значит, . Оценим разность : , при . Полученное равенство показывает, что функция непрерывна, то есть формула (3) действительно определяет оператор, переводящий пространство в себя. Из этого же неравенства видно, что если – ограниченное множество в , то соответствующее множество равностепенно непрерывно. Таким образом, если выполняется неравенство , то , То есть ограниченное множество перейдет в равномерно ограниченное. Таким образом, оператор (3) переводит всякое ограниченное множество из в множество функций, равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное, т.е. предкомпактное по теореме Арцела.
Оператор Вольтерра
Рассмотрим оператор , где , в . Для доказательства компактности оператора Вольтерра покажем, что множество , равностепенно непрерывно и равномерно ограничено. 1) Равномерная ограниченность. Оценим , а это значит, что множество равномерно ограниченно. 2) Равностепенная непрерывность. По определению, равностепенная непрерывность означает, что . Возьмем произвольную функцию . Найдем ее образ . Тогда . Тогда, если положить , равностепенная непрерывность показана. Таким образом, компактность оператора Вольтерра доказана.
Литература
1. Колмогоров, А.Н. Элементы теорий функций и функционального анализа [Текст] / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Физматлит, 2004. 2. Вулих, Б.З. Введение в функциональный анализ [Текст] / Б.З. Вулих. –Изд. 2, перераб. и доп. – М., 1967. 3. Князев, П.Н. Функциональный анализ [Текст] / П.Н. Князев– Изд. 2, перераб. М., 2003. 4. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа [Текст] / Л.А. Люстерник В.И. Соболев– М., 1951.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (180)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |