Примеры решения задач

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

По выполнению домашней контрольной работы

По дисциплине «математика»

Для студентов заочного отделения

(для всех специальностей)

Курск 2015

Аннотация

Пособие предназначено для оказания помощи студентам заочного отделения при выполнении домашней контрольной работы по математике или по элементам высшей математики. Пособие включает в себя некоторые разделы, имеющиеся в этих курсах.

Пособие может быть использовано студентами дневной формы обучения.

Автор: Николенко Д.В.-преподаватель математики 1 квалификационной категори ОБПОУ «Курский техникум связи»

Содержание

1. Теория пределов.

2. Линейная алгебра.

3. Дифференциальное исчисление.

4. Интегральное исчисление.

5. Элементы дискретной математики.

6. Комплексные числа.

7. Элементы теории вероятностей.

8. Литература.

Теория пределов

Изучить по учебной литературе вопросы:

1. Определение предела функции.

2. Свойства пределов функций.

3. Вычисление пределов функций при наличии неопределенности типа 0/0.

4. Вычисление пределов функций, являющихся неопределенностями типа ¥/¥.

5. Понятие разрыва функции. Типы разрывов.

6. Асимптоты графиков функций, их виды и уравнения.

7. Первый и второй замечательные пределы.

Примеры решения задач

1. Вычислить пределы функций:

2. Составить уравнения асимптот к графику функции:

Решение

а) Графики функций могут иметь асимптоты трех видов: горизонтальные, вертикальные и наклонные.

Для определения горизонтальной асимптоты следует вычислить предел функции при условии, что х®¥. Если такой предел существует, то график функции имеет горизонтальную асимптоту.

В примере График функции имеет горизонтальную асимптоту с уравнением у=2.

Для определения вертикальной асимптоты следует определить значения, при которых функция не существует и найти левые и правые пределы функции. Если хотя бы один из пределов бесконечен, то имеется вертикальная асимптота.

В примере функция не существует при х=3.

Так как оба предела бесконечны, то имеется

вертикальная асимптота с уравнением х=3.

Для определения наклонной асимптоты с уравнением y=kx +b находят

Если первый предел не существует или равен 0, то нет наклонной асимптоты.

В примере

Так как k=0, то наклонной асимптоты не имеется.

б)

Выполним последовательно значения пределов:

График функции не имеет горизонтальной асимптоты.

Функция не существует при х=0,5

График функции имеет вертикальную асимптоту

с уравнением х=0,5

Вычислим График функции имеет наклонную асимптоту.

 

Наклонная асимптота имеет уравнение у=0,5х + 0,25

 

 

3. Построить график функции, определив тип точек разрыва:

Для заданной функции точками разрыва являются значения аргумента (-2) и 1.

Найдем левые и правые предельные значения функции для этих значений аргумента.

Для построения графика функции с учетом определения типов точек разрыва, потребуется вычисление значений функции в некоторых промежуточных точках

а) x<-2 y=-x²-6x-7 (парабола)

 

xi	-5	-4	-3	-2
yi	-2

 

б) -2<x<1 y=x+3 (прямая)

 

xi	-2
yi

 

в) х>1

xi	1,1	1,5
yi				-0,75	-0,875

 

Если вычислить , то получим уравнение горизонтальной

асимптоты у=-1

Линейная алгебра

Изучить по учебной литературе вопросы:

1. Матрицы, их виды.

2. Действия над матрицами.

3. Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков.

4. Обратная матрица, ее определение и получение обратной матрицы второго и третьего порядков.

5. Решение матричных уравнений.

6. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, в виде матричного уравнения.

 

Примеры решения задач.

!. Выполнить действия над матрицами

Составить матрицу М=(2А – В)(В+Е)

Решение

Составим матрицу 2А – В, для чего все элементы матрицы А умножим на 2, а затем из каждого элемента матрицы 2А вычтем соответствующий элемент матрицы В.

Составим матрицу В+Е, где матрица Е является единичной матрицей третьего порядка:

Матрица М является произведением полученных матриц, то-есть каждый ее элемент равен сумме произведений соответствующих элементов строки матрицы 2А-В и столбца матрицы В+Е

 

2. Вычислить определитель матрицы:

а)

Решение

а) Для вычисления определителя второго порядка воспользуемся правилом, изложенным в учебной литературе:

 

б) Для вычисления определителя третьего порядка воспользуемся одним из правил, называемым разложением по элементам первой строки:

 

1. Найти обратную матрицу для матрицы второго порядка

Решение

Для получения обратной матрицы А^-1 воспользуемся формулой , где

Для проверки можно найти произведение матриц А и А^-1; должна получиться единичная матрица второго порядка.

 

1. Решить систему уравнений по формулам Крамера

Решение

Для решения задачи нужно вычислить четыре определителя третьего порядка:

· главный определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных;

· дополнительный для х, полученный из главного определителя заменой чисел первого столбца на свободные члены;

· дополнительный для у, полученный из главного определителя заменой чисел второго столбца на свободные члены;

· дополнительный для z, полученный из главного определителя заменой чисел третьего столбца на свободные члены;

 

 

Для получения значений неизвестных требуется разделить значения дополнительных определителей на главный определитель.

Решение задачи можно проверить при помощи найденных значений в уравнения системы.