Дифференциальное исчисление

Изучить по учебной литературе вопросы:

1. Производная функция: определение, свойства, таблица производных.

2. Исследование функции на монотонность.

3. Исследование функции на выпуклость (вогнутость) и точки перегиба.

4. Исследование функции на экстремум.

5. Геометрический и механический смыслы производной.

6. Построение графика функции, используя схему исследования свойств.

Примеры решения задач

1. Найти производные функций:

Решение

При выполнении дифференцирования будем использовать свойства производных, таблицу производных, правило дифференцирования сложных функций.

 

 

2. Выполнить исследование свойств функции по первой и второй производным и построить график функции f(x)=x³ - 3x² - 45x + 20

Решение

Воспользуемся некоторыми пунктами исследования функции:

1)Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел. Эта функция не является четной или нечетной. График этой функции не имеет асимптот.

2) Найдем первую производную и определим соответствующие свойства

функции. f^’(x)=3x² – 6x –45. Решим уравнение 3х² – 6х – 45 = 0. Корнями уравнения являются числа (-3) и 5.

Воспользуемся таблицей:

 

х	(-¥; -3)	-3	(-3;5)		(5;¥)
f’(x)	+		-		+
f(x)		max		min

 

 

Функция возрастает в интервалах (-¥;-3) и (5;¥), убывает в интервале (-3; 5).

Функция имеет максимальное значение f(-3)=101, имеет минимальное значение f(5)= - 155.

3) Найдем вторую производную f^”(x)=(3x² – 6x –45)^’=6x-6.

Решим уравнение 6х-6=0. Решением уравнения является х=1.

Для определения свойств функции воспользуемся таблицей:

 

х	(-¥; 1)		(1;¥)
f”(x)	-		+
f(x)	Ç выпуклая	точка перегиба	È вогнутая

 

4) Для построения графика функции воспользуемся результатами вычислений, оформленными в виде таблицы:

 

х	- 6	-5	-3	- 1
f(x)	- 34					- 27	-74	-144	-155	-99
			max			пер.			min

 

 

 

Интегральное исчисление

Изучить по учебной литературе вопросы:

1. Неопределенный интеграл: определение, свойства, таблица интегралов.

2. Способы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, способ подстановки.

3. Определенный интеграл: определение, свойства, геометрический смысл.

4. Способы вычисления определенного интеграла.

5. Применение определенного интеграла к решению практических задач: вычисление площадей плоских фигур.

 

 

Примеры решения задач

1) Найти неопределенные интегралы:

 

 

Решение

При решении примеров следует пользоваться свойствами неопределенных интегралов, таблицей интегралов, в которую включена формула интеграла функции линейного аргумента, непосредственным интегрированием и методом подстановки.

 

 

б) Выполнив почленное деление в подынтегральной функции, получим:

 

 

в)

 

г) Будем использовать подстановку:

 

 

д) Воспользуемся подстановкой:

 

2) Вычислить определенные интегралы:

 

Решение

При вычислении определенных интегралов используем формулу Ньютона-Лейбница

 

. Получение первообразной функции F(x) будем выполнять или непосредственно или способом подстановки.

 

б)

 

 

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=1 – х² + 4х и 2х – у – 2 =0

 

Для определения точек пересечения линий составим уравнение из равенства выражений этих линий: 1 – х² + 4х = 2х – 2; получим уравнение: х² – 2х – 3 = 0.

Корнями этого уравнения являются числа: (-1) и 3. Для построения линий найдем

значения функций и составим их таблицы:

 

х	-1						х	-1
у1	-4					у2	-4

 

Построив фигуру на плоскости, вычислим ее площадь, определив значение интеграла

 

 

 

 

 

Дискретная математика

Изучить по учебной литературе вопросы:

1. Множества, их виды, способы задания.

2. Простейшие действия над множествами.

3. Отношения, их некоторые виды.

4. Графы, их основные элементы.

5. Некоторые виды графов.

Упражнения и их решение.

1) Составить объединение, пересечение и разность двух множеств.

а) А={3; 4; 6; 7}, B={2; 3; 4; 5}

AÈB={2; 3; 4; 5; 6; 7}, AÇB={3; 4}, A \ B ={6; 7}

б) А=(-1; 3]; B=[1; 5]

AÈB=(-1;5]; AÇB=[1; 3]; A \ B=(-1; 1)

В этом упражнении решение следует сопровождать рисунками.

 

Комплексные числа

Изучить по учебной литературе вопросы:

1. Определение комплексного числа в алгебраической форме.

2. Геометрическое изображение комплексного числа.

3. Тригонометрическая форма комплексного числа.

4. Выполнение арифметических действий над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах.

Примеры решения задач

1) Построить на координатной плоскости числа Z₁ , Z₂, где Z₁=3-2i, Z₂=-1+i.

Решение

На координатной плоскости изобразим точки (3; -2), (-1; 1) и соединим их с началом

координат, получив векторы, конечными точками которых являются заданные точки.

 

 

2) Выполнить действия сложения, вычитания, умножения, деления над комплексными числами в алгебраической форме.

Z₁=3+4i, Z₂=2i¹⁸-5i¹⁵

Решение

Предварительно преобразуем второе число, используя значения степеней мнимой единицы. i¹⁸=i¹⁶⁺²=i¹⁶i²=1i²=-1, i¹⁵=i¹²⁺³=i¹²i³=i³=-i, Z₂=-2+5i

Выполним действия над числами:

Z₁+Z₂=(3+4i)+(-2+5i)=3+4i-2+5i=(3-2)+(4i+5i)=1+9i

 

Z₁-Z₂=(3+4i)-(-2+5i)=3+4i+2-5i=(3+2)+(4i-5i)=5-I

 

Z₁ ^.Z₂=(3+4i) ^. (-2+5i)=-6+15i – 8i +20i²=-6+7i – 20= - 26 + 7i

 

 

3) Представить число в тригонометрической форме Z=

Найдем модуль и аргумент комплексного числа