Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости в точке
Понятие дифференцируемости функции
Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности. Обозначим символом любое приращение аргумента, такое, что принадлежит указанной окрестности точки . Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если приращение этой функции в точке , соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде , (1) где — некоторое число, не зависящее от , — бесконечно малая функция при . Заметим, что поскольку — бесконечно малая функция, то . Тогда . Следовательно, является бесконечно малой более высокого порядка, чем , и обозначается . Учитывая это обозначение, формулу (3) можно также записать в виде , (2) Теорема. Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Доказательство необходимости. Пусть функция дифференцируема в точке , то есть ее приращение представимо в виде (1). Разделим равенство (1) на и перейдем к пределу при . В результате получим . Отсюда следует, что в точке существует конечная производная , равная . Доказательство достаточности. Пусть функция имеет в точке конечную производную, то есть существует предельное значение . В силу определения предельного значения, разность , где — бесконечно малая функция при . Отсюда имеем . (3) Данное представление приращения функции совпадает с представлением (1), если обозначить через не зависящее от число . Следовательно, функция является дифференцируемой в точке . Правила дифференцирования также были сформулированы в предыдущей лекции. Докажем теперь некоторые из них. 1. Пусть функция имеет производную в данной точке . Тогда функция , где — постоянная, также имеет в этой точке производную, причем . Рассмотрим функцию . Найдем приращение этой функции в данной точке , соответствующее приращению аргумента . По определению производной имеем . 2. Пусть функции и имеют производные в данной точке . Тогда сумма и разность этих функций также имеют в этой точке производные, причем . Пусть . Тогда , . 3. Пусть функции и имеют производные в данной точке . Тогда произведение этих функций также имеет в этой точке производную, причем . Обозначим , и приращения функций , и в точке , соответствующие приращению аргумента . Заметив, что , , найдем приращение . Так как функции и имеют производную в точке , то они непрерывны в этой точке. Следовательно, и . Учитывая эти равенства и определение производной, получим . 4. Пусть функции и имеют производные в данной точке . Тогда частное этих функций при условии, что , также имеет в этой точке производную, причем . Правило дифференцирования частного доказывается аналогично предыдущим.
Таблица производных. Таблица производных простейших элементарных функций 1. , где — постоянная; 2. , ; 3. , ; 4. ; 5. , , ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. .
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2394)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |