Свойства определенного интеграла
1. Будем считать, что . 2. ( ). Интеграл мы определили как предел интегральной суммы , когда мелкость разбиения стремится к нулю. При этом мы разбили отрезок точками такими, что , и обозначили через разность . Если отрезок пробегается в направлении от к , то, следуя формальному определению интегральной суммы, мы должны положить . Тогда все станут отрицательными, и все слагаемые в интегральной сумме изменят знак на противоположный. 3. Пусть функции и интегрируемы на отрезке . Тогда функции , также интегрируемы на этом отрезке, причем . (1) Докажем интегрируемость функций , и справедливость формулы (1). Действительно, . 4. Если функция интегрируема на отрезке , то функция , также интегрируема на этом отрезке, причем . Действительно, . 5. Если функция интегрируема на отрезке , то она интегрируема на любом отрезке , содержащемся в . 6. Если функция интегрируема на отрезках и , то она интегрируема на отрезке . Причем . Следующие свойства связаны с оценками интегралов. 7. Если интегрируемая на отрезке функция неотрицательна на этом отрезке, то . Рассмотрим интегральную сумму . Так как , и , то и . 8. Если функция интегрируема на отрезке и всюду на этом отрезке, то . Заметим, что , и по свойству 7 . Отсюда . 9. Если функции и интегрируемы на отрезке и всюду на этом отрезке, то . Так как всюду на отрезке и функция интегрируема на этом отрезке, то по свойству 7 имеем . Отсюда следует свойство 10. 10. Если функция интегрируема на отрезках , то функция также интегрируема на этом отрезке, причем . (2)
Действительно, поскольку для функции справедливо неравенство , то согласно свойству 9 имеем , откуда следует неравенство (2). 11. Пусть функция интегрируема на отрезке . Тогда, если и — наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке , то . (4) Поскольку для любого из отрезка справедливы неравенства , то . (5) Ранее мы установили, что . Подставляя значение интеграла в (5) получим (4). 12. Теорема о среднем. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда найдется такая точка , принадлежащая отрезку , что . (6) Заметим, что непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке. Воспользуемся свойством 12. Разделим неравенства (4) на . В результате получим . Обозначая через число , получим неравенства . Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений и принимает все промежуточные значения от до . Следовательно, найдется такая точка , принадлежащая отрезку , что . Тогда имеем . Отсюда следует формула (6).
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (794)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |