Численное решение нелинейных уравнений

Пусть дано нелинейное уравнение

, (20)

корни которого необходимо найти.

Допустим, что известен интервал [a,b], на котором непрерывная функция f(x) меняет знак (рис. 6). В этом случае можно считать, что известно приближенное решение уравнения x=(a+b)/2 с погрешностью, оценкой которой служит полуширина интервала неопределенности D⁽⁰⁾=|b-a|/2.

Рис. 6. Решение нелинейного уравнения

Метод бисекций

Метод бисекций (дихотомии, половинного деления) заключается в вычислении значения функции в середине отрезка [a,b], сравнении его знака со знаком функции, например, в точке а и отбрасывании той половины отрезка [a,b], на концах которой функция имеет одинаковые знаки. Далее это повторяется до тех пор, пока оценка погрешности D^(k)=|b^(k)-a^(k)|/2 не станет меньше заданного числа e.

Алгоритм решения задачи может выглядеть следующим образом:

Метод простых итераций

Приведем (20) к виду

, (21)

например, выбрав в виде: .

Выберем начальное приближение x⁽⁰⁾. Тогда можно организовать итерационный процесс по правилу

,

,

………………

, (22)

………………

Условие сходимости итерационного процесса записывается в виде неравенства (предполагая существование производной в области поиска).

Процесс сходимости приближенного решения к точному иллюстрируется на рис. 7,а.

Условие сходимости a<1 является существенным, т.е. при a³1 имеет место расходимость (см. рис. 7,б).

а	б

Рис. 7. Решение нелинейного уравнения методом простых итераций:

а сходимость при , б расходимость при

Метод Ньютона (касательных)

Допустим, что функция f(x) непрерывно дифференцируема. Метод Ньютона заключается в построении касательной к графику функции y=f(x) в точке x=x⁽⁰⁾, определению точки пересечения касательной с осью абсцисс, которая считается следующим приближением x⁽¹⁾, построению касательной в этой точке и т.д.
(рис. 8).

Используем уравнение касательной, проведенной в точке

(23)

и условие пересечения графиком касательной оси абсцисс (y=0), найдем

. (24)

Рис.8. Метод Ньютона

Метод хорд (секущих)

Недостаток метода Ньютона связан с необходимостью вычисления производной. Однако производную можно приближенно вычислять конечно-разностным способом. На графике это можно изобразить, отметив на кривой y=f(x) две точки при x=x⁽⁰⁾, x=x⁽¹⁾ и проведя через них секущую до пересечения с осью абсцисс (рис. 9). Если x⁽⁰⁾и x⁽¹⁾ расположены с разных сторон от корня x*, то ось абсцисс пересекает хорда, соединяющая две точки кривой (рис. 9).

Уравнение секущей, проходящей через две точки (x⁽⁰⁾,f(x⁽⁰⁾)), (x⁽¹⁾,f(x⁽¹⁾))

.

Точка пересечения секущей с осью абсцисс (y=0) является следующим приближением решения уравнения

. (25)

Рис. 9. Метод секущих (хорд)