Приведение плоской системы сил к простейшему виду

Рассмотрим систему сил (F₁, F₂, F₃, … ,F_n), расположенных в одной плоскости. К этому случаю приводится весьма большое число практических задач техники. Совместим с плоскостью расположения сил систему координат Оху и, выбрав ее начало в качестве центра приведения, согласно основной теореме статики (§ 4.2), приведем рассматриваемую систему сил к одной силе

, (5.1) равной главному вектору, и к паре сил, момент которой равен главному моменту

М_О=∑М_О(F_k), (5.2) где М_О (F_k) – момент силы F_k относительно центра приведения[†].

Так как силы расположены в одной плоскости, то сила F_О также лежит в этой плоскости. Момент же пары М_О направлен перпендикулярно этой плоскости, так как сама пара расположена в плоскости действия рассматриваемых сил. Таким образом, для плоской системы сил главный вектор и главный момент всегда перпендикулярны друг другу.

При рассмотрении плоской системы сил мы имеем дело с парами, расположенными в плоскости действия сил. Поэтому в плоских системах нет необходимости придавать векторный смысл моменту пары. Момент пары полностью характеризуется алгебраической величиной М_z, равной произведению плеча пары на величину одной из сил, составляющих пару, взятой со знаком плюс, если "вращение" пары происходит против ходачасовой стрелки, и со знаком минус, если оно происходит по ходу часовой стрелки. Иными словами, за момент пары в плоских системах принимается проекция вектора момента пары на ось z, перпендикулярную плоскости действия сил.

Пусть, например, даны две пары, (F₁,F'₁) и (F₂,F'₂); тогда согласно данному определению имеем

М_z(F₁,F'₁)=h₁F₁,

М_z(F₂,F'₂)= – h₂F₂. (5.3)

Аналогично, моментом пары относительно точки будем называть алгебраическую величину, равную проекции момента вектора момента на ось, перпендикулярную плоскости, т.е. равную произведению модуля силы на плечо, взятому с соответствующим знаком. Для случаев, изображенных на рис. будет

М_Оz(F₁)=h₁F₁,

М_Оz(F₂)= – h₂F₂. (5.4)

Индекс z в формулах (5.3) и (5.4) сохранен для того, чтобы указать на алгебраический характер моментов.

Модули же момента пары и момента силы обозначаются следующим образом:

М(F₁,F'₁)=|М_z(F₁,F'₁)|,

М_О(F)=| М_Оz(F)|.

Исходя из этих определений, для нахождения главного момента вместо формулы (5.2) будем пользоваться формулой

М_Оz=∑ М_Оz(F_k). (5.5)

Формула (4.14), определяющая изменение главного момента при перемене центра приведения, примет вид

М_О1z= М_Оz + М_О1z(F_О). (5.6)

Для аналитического определения главного вектора применяются формулы:

F_Ох=∑F_kх=F_1х+F_2х+ … + F_пх,

F_Оу=∑F_kу=F_1у+F_2у+ … + F_пу, (5.7)

, (5.8)

соs(х,F_О)=F_Ох/F_О, соs(у,F_О)=F_Оу/F_О. (5.9)

Согласно формулам (5.5) и (3.11) главный момент равен

, (5.10) где х_k, у_k – координаты точки приложения силы F_k.

Докажем теперь, что если главный вектор плоской системы сил не равен нулю, то данная система сил эквивалентна одной силе, т.е. приводится к равнодействующей.

Пусть для выбранного центра приведения главный вектор и главный момент не равны нулю, т.е. F_О≠0, М_Оz≠0. Дуговая стрелка на рис. символически изображает пару с моментом М_Оz. Пару сил, момент которых равен главному моменту, представим в виде двух сил F₁ иF'₁, равных по модулю главному вектору F_О, т.е. F₁= F'₁= F_О. При этом одну из сил (F'₁), составляющих пару, приложим к центру приведения и направим в сторону, противоположную направлению силы F_О. Тогда система сил F_О и F'₁ эквивалентна нулю и может быть отброшена. Следовательно, заданная система сил эквивалентна единственной силе F₁,приложенной к точкеО₁; эта сила и является равнодействующей. В дальнейшем равнодействующую будем обозначать буквой R, т.е F₁= – R. Очевидно, что расстояние h от прежнего центра приведения до линии действия равнодействующей можно найти из условия | М_Оz| =hF_О, т.е.

.

Расстояние h нужно отложить от точки О так, чтобы момент пары сил (F₁,F'₁) совпадал с главным моментом М_Оz. В результате приведения системы сил к данному центру могут встретиться следующие случаи:

1. F_О≠0, М_Оz≠0.

В этом случае система сил может быть приведена к одной силе (равнодействующей), как это показано на рис.

2. F_О≠0, М_Оz=0.

В этом случае система сил приводится к одной силе (равнодействующей), проходящей через центр приведения.

3. F_О=0, М_Оz≠0.

При этом система сил эквивалентна одной паре сил.

4. F_О=0, М_Оz=0.

В этом случае рассматриваемая система сил эквивалентна нулю, т.е. силы, составляющие систему, взаимно уравновешены.

Для системы сил, которая приводится к равнодействующей, справедлива следующая теорема о моменте равнодействующей.

Теорема Вариньона. Если рассматриваемая плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно той же самой точки.