Выражение скалярного произведения через координаты

Пусть даны векторы и .

Перемножим их скалярно, используя свойства 2) и 3):

Так как ; ,

то

. (13)

Таким образом, скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений одноименных координат.

Из формул (12) и (13) можно получить следующие формулы.

1) Для вектора его модуль вычисляется по формуле

. (14)

2) Угол между двумя векторами , вычисляется по формуле ,

или

. (15)

3) Согласно свойству 4) и формулы (13) условием ортогональности двух векторов и является равенство

. (16)

4) Расстояние между точками и можно найти как длину вектора , т.е.

. (17)

Пример. Найдите скалярное произведение векторов и .

Решение.По формуле (13): , т.е. .

Пример.Найдите угол между векторами и .

Решение.По формуле (15):

.

 

Пример. Вычислите проекцию вектора на ось, имеющую направление вектора .

Решение.

Так как , то сначала найдём скалярное произведение векторов и :

,

затем длину вектора .

Тогда .

Здесь отрицательный знак показывает, что угол между вектором и осью проекции – тупой.

 

Векторное произведение векторов

 

Правая и левая тройки векторов

Пусть заданы три некомпланарных вектора . Отложим их из одной точки. Будем смотреть из конца вектора на векторы и . Если кротчайший поворот от к будет совершаться против часовой стрелки, то такая тройка векторов называется правой (рис. 6 а). Если кротчайший поворот от к будет совершаться по часовой стрелке, то тройка векторов называется левой (рис. 6 б).

Рис. 6. Правая и левая тройки векторов

 

Если векторы образуют правую тройку векторов, то система координат называется правой (рис. 7, а), в противном случае система будет левой (рис. 7, б).

Рис.7. Правая и левая системы координат

 

Векторным произведением двух векторов и называется

третий вектор , удовлетворяющий условиям:

1) , где ;

2) вектор ортогонален вектору и вектору ;

3) векторы образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение обозначается: или [ ; ].

Свойства векторного произведения

 

1) .

2) Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда его сомножители коллинеарны (если один из векторов есть нулевой вектор, то можем считать, что и коллинеарны):

.

3) .

4) .

5) Если векторы и неколлинеарны, то модуль вектора численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и :

. (18)

 

Выражение векторного произведения через координаты

 

Пусть даны векторы , .

Так как – правая тройка векторов, то

Отсюда

Таким образом,

(19)

Замечание.Условием коллинеарности векторов и является равенство , т.е.

.

Пусть – матрица, составленная из координат векторов и .

Получим из матрицы А путем поочередного вычеркивания столбцов определители , , :

Тогда

 

Итак, условие коллинеарности двух векторов и :

или

.

 

Площадь треугольника

 

Пусть треугольник построен на векторах и . Тогда его площадь находят по формуле

(20)

Если векторы и находятся в плоскости хОу, то и

Пример.Векторы и образуют угол . Найдите модуль вектора если .

Решение. По формуле (18):

.

Пример.Найдите векторное произведение векторов и .

Решение.По формуле (19):

Таким образом, векторным произведением векторов и является вектор = {-7; -7; -7}.

Пример.Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах

Решение.1) Искомая площадь S равна модулю векторного произведения , т.е. .

2) Вычислим векторное произведение:

Координаты векторного произведения = { -2; -3; -7}.

3) Тогда (кв. ед.)

Пример.Вычислите площадь треугольника АВС, построенного на векторах и .

Решение. По формуле (20):