Выражение смешанного произведения через координаты

 

Пусть даны три вектора

, , .

Найдём смешанное произведение .

1) Обозначим . Пусть .

Найдём координаты X, Y, Z вектора .

Пусть – матрица, составленная из координат векторов и , тогда

.

2) Умножим скалярно и :

=

. (21)

Видим, что

,

так как левая часть равенства (21) является разложением этого определителя по элементам третьей строки.

Замечания. 1. Условием компланарности трех векторов является равенство:

,

где строки определителя – координаты векторов и .

2.Так как объём параллелепипеда, построенного на векторах равен , то объём пирамиды вычисляют по формуле:

. (22)

Пример.Найдите объём пирамиды, построенной на векторах

, , .

Решение.Поскольку объём пирамиды можно вычислить по формуле (22), то найдём смешанное произведение:

.

(куб. ед.)

 

Пример. Установите, компланарны ли векторы

, , .

Решение. Проверим условие компланарности .

Векторы – компланарны.

 

 

Иллюстрации:

Рис.1 «Коллинеарные векторы»

Рис.2. «Компланарные векторы. Операции над векторами»

Рис.3. «Построение вектора»

Рис.4. «Проекция вектора на ось»

Рис.5. «Вычисление координат вектора»

Рис.6. «Правая и левая тройки векторов»

Рис.7. «Правая и левая системы координат»

Рис.8. «Геометрический смысл смешанного произведения»

Презентации:

· Скалярное произведение векторов

· Векторное произведение векторов

· Смешанное произведение векторов

 

Контрольные вопросы:

1. Вектор – это …

2. Длина вектора – это …

3. Какие векторы называются коллинеарными?

4. Какие векторы называются неколлинеарными?

5. Какие не лежащие на одной прямой векторы называются сонаправленными?

6. Какие не лежащие на одной прямой векторы называются противоположно направленными?

7. Какие лежащие на одной прямой векторы называются сонаправленными?

8. Какие лежащие на одной прямой векторы называются противоположно направленными?

9. Какие векторы называются компланарными?

10. Какие векторы называются некомпланарными?

11. Какие векторы называются равными?

12. Какой вектор называется нулевым?

13. Что называется суммой двух векторов? По какому правилу она находится?

14. Что называется разностью двух векторов? По какому правилу она находится?

15. Что называется произведением вектора на число? По какому правилу оно находится?

16. Перечислите свойства суммы векторов

17. Перечислите свойства умножения вектора на число

18. Напишите формулу для нахождения координат вектора по координатам начала и конца

19. Напишите формулу для нахождения координат суммы двух векторов и

20. Напишите формулу для нахождения координат разности двух векторов и

21. Напишите формулу для нахождения координат произведения вектора на число k

22. Напишите формулу для нахождения длины вектора по его координатам (на плоскости)

23. Напишите формулу для нахождения длины вектора по его координатам (в пространстве)

24. Напишите формулу для нахождения координат точки М(x,y,z), делящей отрезок М₁М₂ в отношении k, если М₁(x₁,y₁,z₁) и М₂(x₂,y₂,z₂)

25. Что называется ортом вектора ?

26. Что называется направляющими косинусами вектора ?

27. Напишите формулу для нахождения направляющих косинусов вектора

28. Что называется проекцией вектора на ось ?

29. От чего зависит знак проекции вектора на ось ?

30. Перечислите свойства проекции вектора на ось ?

31. Что называется углом между двумя векторами?

32. Что называется скалярным произведением двух векторов?

33. Перечислите свойства скалярного произведения векторов

34. Напишите формулу для нахождения скалярного произведения векторов и

35. Напишите формулу для нахождения косинуса угла между векторами и

36. Запишите условие ортогональности двух векторов и

37. Что называется векторным произведением двух векторов и ?

38. Перечислите свойства векторного произведения векторов

39. Напишите формулу для нахождения векторного произведения векторов и

40. Запишите условие коллинеарности двух векторов и

41. По какой формуле вычисляется площадь треугольника, построенного на векторах и ?

42. Что называется смешанным произведением векторов , и ?

43. Перечислите свойства смешанного произведения векторов

44. Напишите формулу для нахождения смешанного произведения векторов , и

45. Запишите условие компланарности трех векторов , и

 

 

Литература:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2.

5. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006.

6. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.