Основные свойства линейных операций
Для любых векторов и любых действительных чисел l и m справедливы следующие свойства: 1) ; 2) ; 3) , где - нулевой вектор; 4) для каждого вектора вектор является противоположным, т.е. ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . Разностью двух векторов называется сумма вектора и вектора , противоположного : . Пример.По данным векторам и требуется построить векторы и . Решение.Отнесем векторы и к одному началу. Далее см. рис. 3. Рис. 3. Построение вектора Проекция вектора на ось Пусть даны вектор и ось l (рис. 4). Проекций вектора на ось l называется длина отрезка между основаниями перпендикуляров, опущенных из точек А и В на ось l: .
Рис.4. Проекция вектора на ось
Свойства проекций
1) Проекция равна нулю (т.е. совпадает с ) тогда и только тогда, когда вектор перпендикулярен к оси (см. рис. 4, в). 2) При параллельном переносе вектора его проекция не меняется. 3) – проекция вектора на ось l равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью (см. рис. 4, г). 4) имеет место для любого конечного числа векторов. 5) , если вектор умножить на число l, то его проекция тоже умножается на это число. Пример. Найдите проекцию вектора на ось l, если , а угол j между осью и вектором равен . Решение.По свойству 3): . . Пример.Найдите проекцию суммы векторов + + на ось l, если и угол j между векторами , , и осью l соответственно равен . Решение. По свойству 4): . Вычислим проекцию каждого из векторов , , на ось l, получим: ; ; . Тогда искомая проекция суммы .
Формула для вычисления координат вектора Пусть даны координаты точек и в пространстве. Рис.5. Вычисление координат вектора
Так как (рис. 5), а координаты радиусов-векторов и равны соответственно и , то (2) Таким образом, чтобы найти координаты вектора , нужно из координат его конца М2 вычесть координаты его начала М1. Пример.Даны точки и . Найдите координаты вектора . Решение.По формуле (2) координаты вектора = . Линейные операции над векторами, Заданными своими координатами 1. Сумма (или разность) векторов. Пусть даны два вектора и . Найдём . (3) При сложении (вычитании) векторов складываются (вычитаются) их соответствующие координаты. 2. Умножение вектора на число. Пусть дан вектор , l – любое действительное число. Найдём l : . (4) При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Пример. Даны векторы и . Найдите координаты векторов , , . Решение. По формуле (3): ;
= {2; 3; 3}, = {2; - 9; 7}. По формулам (3), (4): = {6; - 33; 23}.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (876)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |