Уравнения высших степеней
Алгебраические уравнения И Алгебраические неравенства
Уравнения высших степеней
Уравнение вида (3.1) где называется уравнением n-й степени. Если уравнение называется линейным. Если уравнение называется квадратным. Если уравнение называется однородным. Основными методами решения уравнений типа (3.1) при являются: 1) метод разложения многочлена в левой части уравнения (3.1) на множители и сведение к равносильной совокупности уравнений; 2) метод замены переменной, в результате применения которого уравнение (3.1) заменяется равносильным уравнением, степень которого ниже, чем n; 3) поиск корней среди делителей свободного члена. Рассмотрим некоторые виды уравнений (3.1) и их решения. Уравнения вида решаются вынесением общего множителя за скобки: и сведением к совокупности: Уравнение вида (3.2) решается заменой Получаем уравнение которое решается, как квадратное. Находим его корни (если такие существуют) и возвращаемся к старой переменной. При уравнение (3.2) имеет вид: – биквадратное уравнение. Уравнение (3.3) где сводится к биквадратному уравнению заменой Уравнение (3.4) где и А таковы, что и сводится к биквадратному уравнению заменой или при к уравнению заменой Уравнение (3.5) где и делением на (так как – не является корнем) сводится к равносильному ему уравнению: далее заменой оно сводится к квадратному уравнению. Уравнение где и А таковы, что сводится к уравнению вида (3.5) после попарного перемножения выражений в скобках: Уравнения вида (3.6) где называются симметрическими уравнениями третьей степени. Так как то уравнение (3.5) равносильно совокупности уравнений: Уравнения вида (3.7) где называются симметрическими уравнениями четвертой степени. Так как не является корнем уравнения (3.7), то деление обеих частей уравнения (3.7) на приводит его к уравнению или Далее заменяем и сводим его к квадратному уравнению.
Пример 1. Решить уравнение Решение. Выносим общий множитель за скобки: Получаем совокупность уравнений Ее решение дает три корня: Пример 2. Решить уравнение
Решение. Заменяем и приходим к уравнению Последнее уравнение имеет корни: Возвращаемся к переменной х: Решаем полученные квадратные уравнения и приходим к ответу:
Пример 3.Решить уравнение Решение. Задано уравнение вида (3.3). Заменяем т. е. Подставим это значение в заданное уравнение: После упрощения имеем: Дополним до полного квадрата суммы: После упрощения уравнение приобретает вид: т. е. Его решением является лишь Возвращаясь к переменной х, получим что приводит к ответу:
Пример 4.Решить уравнение Решение. Имеем уравнение вида (3.4). Так как то перемножим выражения во 2-й и 3-й скобках. Получим: Заменяем Поскольку приходим к уравнению Решая его как квадратное, получим корни: Возвращаемся к переменной х: Первое квадратное уравнение полученной совокупности не имеет корней, так как а второе имеет корни что и будет ответом.
Пример 5.Решить уравнение Решение. Имеем уравнение вида (3.5). Поскольку не является его корнем (в чем можно убедиться подстановкой), то делим его почленно на Получаем Введем замену которая приводит к уравнению т. е. Находим корни и возвращаемся к переменной х: Решаем полученную совокупность дробно-рациональных уравнений: т. е. Получаем в совокупности 4 корня:
Пример 6.Решить уравнение Решение. Это уравнение 3-й степени. Разложим на множители многочлен в правой части. Для этого рассмотрим делители свободного члена 16: Подстановкой находим, что – корень этого многочлена. Следовательно, многочлен разделится нацело на Воспользуемся правилом «деления углом»: Данное уравнение равносильно уравнению решение которого сводится к совокупности Квадратное уравнение не имеет корней, а поэтому получаем единственный корень
Пример 7.Решить уравнение Решение. Данное уравнение является симметрическим уравнением 4-й степени вида (3.7). Поскольку не является его корнем, то делим это уравнение почленно на Приходим к уравнению Заменяем соответственно, и Приходим к уравнению вида т. е. Находим корни: и возвращаемся к переменной х: После упрощения получаем: При этом первое уравнение последней совокупности не имеет корней, а второе имеет два корня: что и является ответом.
Задания I уровень 1.1.Решите уравнение: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)
II уровень 2.1. Решите уравнение: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)
III уровень 3.1. Решите уравнение: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (728)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |